Преобразование неопределённостей

Правило Лопиталя применимо лишь для раскрытия неопределённостей вида и . Но некоторые функции можно преобразовать и получить неопределённость одного из этих видов:

1) или ;

2) ;

3)

Примеры

1. Найти пределы

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1) ;

2)

;

3) этот предел содержит неопределённость вида . Обозначим функцию через y и прологарифмируем её:

.

Тогда

.

Так как , то .

4) этот предел содержит неопределённость вида . Обозначим функцию через y и прологарифмируем её:

.

Тогда

.

Так как , то .

Контрольная работа №1

ЧАСТЬ 1

Задание 1.Найти решение неоднородной системы линейных уравнений

а) с помощью правила Крамера;

б) методом обратной матрицы;

в) методом Жордана-Гаусса:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задание 2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8),

9). 10).

Задание 3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

Задание 4. Даны векторы . Необходимо: а). вычислить смешанное произведение векторов , проверить, будут ли они компланарны; б). найти модуль векторного произведения векторов ; в). вычислить скалярное произведение векторов ; г). проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны вектора .

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

Задание 5. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C, и D. Вычислить: а). площадь указанной грани; б). площадь сечения, проходящего через середину ребра L и две вершины пирамиды; в). длины указанных рёбер и угол между ними; г). объём пирамиды ABCD.

1). A(5, 2, 4), B(-3, 5, -7), C(1, -5, 8), D(9, -3, 5); а). ABD; б). L=BD, А и С;

в). АВ и AC.

2). A(-7, -6, -5), B(5, 1, -3), C(8, -4, 0), D(3, 4, -7); а). BCD; б). L=AD, B и C; в). DC и DB .

3). A(3, 4, 5), B(1, 2, 1), C(-2, -3, 6), D(3, -6, -3); а). ACD; б). L=AB, C и D; в). BC и BA.

4). A(-4, -2, -3), B(2, 5, 7), C(6, 3, -1), D(6, -4, 1); а). ACD; б). L=BC, A и D; в). CA и CD.

5). A(-6, -3, -5), B(5, 1, 7), C(3, 5, -1), D(4, -2, 9); а). ACD; б). L=BC, A и D; в). AD и AC.

6). A(7, 5, 8), B(-4, -5, 3), C(2, -3, 5), D(5, 1, -4); а). BCD; б). L=BC, A и D; в). СB и CA.

7). A(7, 4, 9), B(1, -2, -3), C(-5, -3, 0), D(1, -3, 4); а). ABD; б). L=AB, C и D; в). BD и BA.

8). A(5, 3, 6), B(-3, -4, 4), C(5, -6, 8), D(4, 0, -3); а). BCD; б). L=BC, A и D; в). AC и AD.

9). A(4, 3, 1), B(2, 7, 5), C(-4, -2, 4), D(2, -3, -5); а). ACD; б). L=AB, C и D; в). DA и DC.

10). A(-5, -3, -4), B(1, 4, 6), C(3, 2, -2), D(8, -2, 4); а). ACD; б). L=BC, A и D; в). AC и AB.

Задание 6. Даны вершины треугольника ABC. Найти:

а). уравнение стороны АВ;

б). уравнение высоты CH;

в). уравнение медианы AM;

г). точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

д). острый угол между высотой CH и медианой AM;

е). длину высоты CH.

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

Задание 7. Даны четыре точки . Выяснить, лежат ли эти точки в одной плоскости. Если не лежат, сделать следующее:

а). составить уравнение плоскости ;

б). найти расстояние от точки до плоскости ;

в). написать уравнение перпендикуляра к плоскости , проходящего через точку ;

г). найти острый угол, образованный этим перпендикуляром и прямой ;

д). вычислить синус угла между прямой и плоскостью ;

е). вычислить косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью ;

ж). составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно прямой ;

з). составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

ЧАСТЬ 2

Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя.

Задание 1

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 2

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 3

1) ; 3) ;

2) ; 4) ;

5) ; 8) ;

6) ; 9) ;

7) ; 10) .

Задание 4

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 5

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Вычислить производные:

Задание 6

1) ; 6) ; 2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 7

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 8

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 9

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 10

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 11

Вычислить производные первого порядка:

1) ; 3) ;

2) ; 4) ;

5) ; 8) ;

6) ; 9) ;

7) ; 10) .

Вычислить пределы с использованием правила Лопиталя:

Задание 12

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 13

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) ;

7) ; 9) ;

8) ; 10) .

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.1

2. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики, т.1

3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.

5. Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике, т.1.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.

Программа к экзамену

Матрицы и определители (общие понятия). Прямоугольная, квадратная, единичная, транспонированная матрица. Свойства опре­делителей. Алгебраические дополнения и миноры. Разложение опреде­лителя по строке (столбцу).

Операции над матрицами. Линейные операции, умножение матриц. Невырожденная, обратная матрица. Элементарные преобразо­вания матрицы. Ранг матрицы. Нахождение обратной матрицы. Определение ранга.

Системы линейных уравнений. Однородная и неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Совместная система. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений, общее решение. Методы решения: правило Крамера, метод Гаусса.

Векторы (общие понятия). Определение вектора. Равенство, коллинеарность, компланарность векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Сложение векторов и ум­ножение вектора на число. Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису. Прямоугольные координаты и направляющие косинусы вектора

Умножение векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, геометри­ческий смысл, выражение через координаты сомножителей. Угол между векторами, условия их ортогональности, коллинеарности и компла­нарности.

Прямая линия. Уравнение прямой на плоскости, его различные формы. Расстояние от точки до прямой. Углы между прямыми, условия их параллельности, ортогональности.

Плоскость. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Углы между плоскостями, прямой и плоскостью, условия их параллельности, ортогональности.

Кривые второго порядка. Уравнения и свойства кривых второго порядка на плоскости:окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

Предел функции одной переменной. Предел функции в точке. Свойства сходящихся функций. Односторонние преде­лы. Первый и второй замечательные пределы.

Непрерывность функции. Непрерывность в точке и на отрез­ке. Точки разрыва функции.

Производная функции. Приращение функции и аргумента. Ге­ометрический и механический смысл производной (задачи о касатель­ной и скорости). Дифференцируемость функции. Производные высших порядков.

Правила дифференцирования. Производная суммы, произведе­ния и отношения функций. Дифференцирование сложной, параметричес­ки заданной и обратной функций.

Раскрытие неопределенностей. Применение производных для нахождения пределов неопределенных выражений. Первое и второе правила Лопиталя.

Локальный экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Схема нахождения экстремумов, наибольшего и наименьшего значения функции.

Построение графика функции. Определение экстремумов, областей монотонности, выпуклости и вогнутости кривой, точек перегиба. Правило нахождения асимптот графика функции. Общая схема построения графика.