Интерференция от двух одинаковых источников

Из выражения (5.1) для квадрата амплитуды результирующего колебания в интерференционной картине имеем:

I(θ) = 2I(1 + cos ) = 4I cos²

При отсутствии начального фазового сдвига у источников

= d sin θ

Более того:

2I(1 + cos ) = 4I cos² = 4I cos² Þ

Þ I(θ) = (5.2) ( для N =2)

5.3.3. Многолучевая интерференция

Если число источников N, тогда этот параметр входит в числитель последнего (5.2) выражения в значение аргумента

I(θ)= I0 (5.2.а)

К выражению (5.2.а) можно прийти путём вычисления амплитуды результирующего колебания в точке, где сходятся N одинаковых лучей , фаза каждого из которых отличается фазы предыдущего на постоянную величину φ.

Складывая векторы амплитуд (метод диаграмм), для многоугольника. вписанного в окружность, можем записать:

= R sin и = R sin

Исключив R для результирующей амплитуды A получаем:

A =A₀

Откуда вытекает выражение (5.2.а). Следствием является:

I = N ² I₀

при разности фаз φ = 2πm или разности хода r_опт. = m λ, где m – порядок глвного максимума.

В промежутке между главными максимумами располагаются N-1 минимумов с нулевой интенсивностью (числитель равен нулю при

= m* π, m* = 1, 2, 3, ...N-1 или φ = 2π).

С увеличинием числа N итерфер. лучей главные максимумы сужаются.

Вторичные максимумы, отделяющие минимумы, слабы на фоне главных максимумов. Угловая и линейная ширина последних в N раз меньше, чем в случае двух излучателей

φ_+1,-1 = , =

Гл. 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

Под Д. понимают попадание света в область геометрической тени в среде с резкими неоднородностями. Это совокупность явлений, обусловленных перераспределением энергии волнового поля.

§6.1 Принцип Гюйгенса-Френеля (6.1.1.). Метод зон Френеля (6.1.2.)

6.1.1.

Полагается, что:

1. Все точки волнового фронта являются источником вторичных волн.

2. Все элементарные источники когерентны, втор. волн интерферируют между собой.

Френель дал выражение для результирующей волны в каждой точке волнового поля:

( ,t) = ·f(α)· ·dS.

Смысл параметров и функциональных зависимостей величин входящих в интеграл ясен из поясняющего рисунка.

6.1.2. Метод зон Френеля

Сферический волновой фронт Френель предложил разбивать на кольцевые зоны, обеспечивая разность хода (т.е. сдвиг по фазе на ).

Приближённо можно с читать

А = А₁ - А₂ + А₃ – А₄ +…. А_N

Поскольку для любого А_m = (А_m-1 + А_m+1) соответственно имеем, используя чётные m :

А = (А₁ - А_N) для чётного числа зон N

и А = (А₁ + А_N) для нечётного N.

При N 1 в точке М наблюдения дифракционной картины

А = А₁ и I = I₁.

Удивительный результат: при открытой только первой зоне имеем – I₁ = 4I₀ .

Заметим, что разбивая саму зону Френеля на подзоны и используя диаграмму сложения амплитуд, развёрнутых на одинаковый угол (фазовый сдвиг), можно находить результирующую амплитуду в данной точке дифракционной картины.

§ 6.2 Дифракция Фраунгофера.

Рассмотрение соответствует плоскому фронту – “дальней зоне”

6.2.1. Дифракция на одной щели

Считаем волну, падающую на узкую щель (с шириной а λ) плоской. Щель разбивают на продольные зоны так, что фазовый сдвиг лучей идущих от их краёв в данном направлении ( под ∠ θ) равнялся .

Для наблюдения:

максимумов интенсивности а sin θ = (2m +1) (6.1)

минимумов - а sin θ = m λ, (6.2) где m = 1, 2, 3..

Угловая ширина центрального максимума δ = , других- . Их число задаётся условием: sin θ =1 Þ m_max = .

Аналитический расчёт амплитуды волнового поля, основанный на учёте вклада элементарных зон щели при наличии фазового сдвига колебаний, даёт для интенсивности в точке наблюдения

I_θ = I₀ , (6.3)

Где I₀ – интенсивность в центре экрана наблюдения дифракционной картины.

1) Для θ = 0 из (6.1) с учётом,что → 0, следует:

A (0) = A₀ ; I(0) = I₀

2) Положение побочных максимумов задаётся условием:

sin = 1 или = (2m+1)

Их величина I_{m, поб.} = I₀ /[ (2m+1)² ]

3) Минимумы следуют из условия:

sin = 0

6.2.2. Дифракционная решётка

При наличии большого числа параллельных периодически расположенных щелей интенсивность в точках экрана определяется выражением:

I_θ = I₀ · (6.4)

Видно, что итоговая интенсивность многолучевой интерференции модулируется фактором, обусловленным действием одной щели.

Чем меньше отношение . тем плавнее ход огибающей.

Рисунок иллюстрирует угловую зависимость I (θ).

Важнейшие черты такой картины следующие:

а) Положения главных максимумов как и в многолучевой интерференции

d sin θ = m λ ( m = 0,1, 2, 3, … ) (6.5)

Интенсивность в главных максимумах в N² раз больше таковой в случае одной щели;

б) Главные максимумы (первого порядка) расположены между минимумами ограничивающими центральный максимум при дифракции на одной щели; их общее число М = 2m +1, где m= .

Угловая ширина главных максимумов =

Дополнительные максимумы числом N -2 расположены между главными максимумами.

в) Главные минимумы расположены под углами удовлетворяющих условию а sin θ = m λ

Дополнительные минимумы определяются соотношением

= πm* (m*= 1, 2, … N-1, N +1, N +2… 2N -1, 2N+1… )

Дисперсия и разрешающая сила решётки

Угловой дисперсией спектрального прибора называют величину

D = = (6.6)

Она определяет угловую ширину спектра.

Линейная дисперсия D = F , где F - фокусное расстояние линзы.

Разрешающая способность R

Понятие связано с задачей разрешения (опознавания,разделения) двух близко лежащих линий.

Согласно Рэлею R = =mN, (6.7)

где m - порядок спектра, N - число штрихов решётки. Число N может равняться 10³.

§ 6.2 Дифракция Френеля

6.3.1. Дифракция на круглом отверстии

Ближняя зона 1

Считаем, что свет от точечного источника (сферическая волна) попадает через круглое отверстие на экран наблюдения дифр. картины в точку лежащую на оси симметрии. Суть метода Френеля в разбиении волнового фронта на кольцевые зоны в площади отверстия согласно условию

r_m = r + m

Можно показать, что при при небольшом m площадь зоны не зависит от радиуса ( S = S_m - S_m-1 = ).

Для радиуса m ^ой зоны получают выражение

r_m = (6.8)

Радиус отверстия r_о = r_m при m = m_max

Анализ даёт, что при открытой одной зоне А₁ = А/2 . Для произвольной зоны

А_m = ,

где для нечётной зоны следует брать знак минус, и знак плюс для чётной.

Дальняя зона ( 1)

Изменение интенсивности в точке наблюдения М на оси симметрии в приближении плоского фронта волны, падающей на круглое отверстие показано на рис.

Интенсивность дифракционных максимумов с ростом приближается к случаю, соответствующему отсутствия преграды.

6.3.2. Дифракция на непрозрачном диске

Для сферической волны с преградой в виде круглого диска используя принятые подходы обнаружим, что в точке М (центре д. картины) всегда имеется светлое пятно с интенсивостью

А

Это пятно Пуассона.

6.3.3. Другие виды дифракции

1. Дифракция на объемных структурах (решётках), в частности, рентгеновского излучения на кристаллической решётке (д. Вульфа- Брэггов)

2d sin θ = mλ (6.9)

2. Дифракция на дисперсно-распределённых мелких частицах.

3. Дифракция радиоизлучения щелевых антенн.

Важное свойство материи.

υ² = υ_г = φ = (2m +1) π φ = 2πm

ψ → ω → = υ²

δ = ω_o² = cos Σ

Þ ^ > < α φ q φ_o β ω ω_о 2 π ψ (x,t) x k

§ ℓ δ λ φ ε θ α π υ ν ω τ μ ψ ρ ∙ § ΄ М_z γ σ ℓ

→ ∶ § π tg φ ψ → ω → t μ μ_о ε_oε ∠

δ = ω_o² = cos(ωt + φ_o) sin (ωt + φ_o) sin²

е^{- δt} ω = ε_{m рез} Cambria Math (буквеподобные сим.)

+ 2δ + ω_o² x = 0 , (**) _y + + m + _тр. = m

x(t) = A_o е^{- δt} cos(ωt + φ_o) (1.4) δ =

А = A_o е^{- δt} ω = const

q(t) = q_m cos(ω_ot + φ_o), ω_o² =

I(t) = = - δ q_m е^{- δt} cos(ωt + φ_o) - ω q_m е^{- δt} sin (ωt + φ_o),

W(t) = + LI² е^{- 2δt} = L е^-2δt = W_о е^{- 2δt}

θ = Þ θ =

tg φ_o = - (δ → ω_о) H = E c =

q(t) = q_m cos(ωt - ψ) A_m А₁ cos (ωt - kx) I_max r = m λ I_min

rot = - rot = + div = ρ r = (2m + 1)