Бинарный алгоритм евклида
Этот вариант создан специально для реализации на ЭВМ. В нем учитывается, что операция деления на число 2 или на любую степень двойки является весьма быстрой и простой операцией (в двоичной системе счисления операция деления на 2 есть всего лишь битовый сдвиг вправо).
Учтем, что (2k∙a,2s∙b)=2min(k,s)(a,b).
Алгоритм:
Вход: a, b>0.
1. Представим a и b в виде: ; , где a1, b1 – нечетные числа.
k:=min(k1,k2).
2. Если a1>b1 Шаг 4
a1< b1 Шаг 3
a1= b1 Шаг 6
3. Меняем местами a1 и b1.
4. c:=a1–b1=2s∙c1 (c1 - нечетное число)
(Заметим, что с обязательно будет четным, а значит )
5. a1:= b1 , b1:=c1 . Возвращаемся на Шаг 1.
6. Выход: (a,b)=2k∙a1 .
Пример
a=603, b=108
a1 | |||
b1 | |||
c1 | – |
1. a1=603, k1=0; b=108=4∙27=22∙27 k2=2, b1=27, k=0
2. a1=603> b1=27 Ш4
4. c=603-27=56=64∙9, c1=9
5. a1=27; b1=9 Ш1
1. a1=27; b1=9
2. a1> b1 Ш4
4. c=a1–b1=18=2∙9, c1=9
5. a1=9, b1=9
1. a1=9, b1=9, k=0
2. a1= b1 Ш6
6. (a,b) = 2º∙9=9
Для НОД справедливы следующие свойства:
1) (am,bm)=m(a,b)
Доказательство:
Доказательство строится, умножая почленно соотношения алгоритма Евклида на m.
2) d – общий делитель чисел a и b
(в частности, ).
Доказательство:
Учитывая, что и – целые числа, из свойства НОД №1 получаем соотношение , что и требовалось.
□
3) (a,b)=1 (ac,b)=(c,b)
Доказательство:
a, b, c выполняется (ac,b)\ac, (ac,b)\b (ac,b)\bc (ac,b)\(ac,bc).
По условию теоремы, в силу взаимной простоты a и b (ac,bc)=c, то есть получили (ac,b)\с.
Но (ac,b)\b (ac,b)\(c,b).
С другой стороны, (c,b)\ac, (c,b)\b. (c,b)\(ac,b).
Таким образом, числа (ac,b) и (c,b). взаимно делят друг друга (ac,b)=(c,b).
□
4) (a,b)=1, b\ac b\c.
Доказательство:
Из теоремы №1 о НОД в силу b\ac, (ac,b)=b.
из свойства НОД № 3 b=(c,b)и тогда из теоремы №1 о НОД b\c.
□
5) Если (ai, bj)=1 для , ( , )=1.
Доказательство:
имеем ( , ) = ( , ) = ( , ) = … = .
Аналогично, используя полученное соотношение,
( , ) = ( , ) = … = ( , ) = 1.
□
НОК (наименьшее общее кратное)
Если a1\b, a2\b, … , an\b, то b называется общим кратным чисел a1,…,an. Наименьшее положительное общее кратное чисел a1,…,an называется их наименьшим общим кратным (НОК).
Пусть НОД(a,b)=d, тогда можно записать a=d∙a1, b=d∙b1, где (a1,b1)=1.
Пусть a\M, b\M M=ak для некоторого целого k, и тогда число – целое. Но, поскольку (a1,b1)=1, то b1\k , и тогда k=b1t для некоторого , и
. *
Очевидно, , М – общее кратное a и b, и (*) дает формулу всех общих кратных.
При t=1 имеем M=НОК(a,b).
Формулой M = НОК(a,b)∙t можно представить все общие кратные чисел a и b. ( ).
Простые числа
Числа a1,…,an называются взаимно простыми, если НОД(a1,…,an)=1, попарно простыми, если , НОД(ai,aj)=1.
Если числа попарно a1,…,an простые, то они взаимно простые. Обратное неверно.
Число p называется простым, если оно имеет лишь два делителя – “1” и р.
Число “1” делится только на себя, и не является ни простым, ни составным, а занимает особое место в теории чисел.
Число а>1 имеющее более двух делителей, называется составным.
Утверждение 1
Наименьший не равный единице делитель числа a: , >1, является простым числом.
Доказательство:
Пусть q: q>1, q\a – наименьший делитель а. Если бы q было составным, то нашлось бы число q1>1: q1\q, и тогда для некоторого целого k выполнялось бы q=kq1 a=qt=q1kt q1\a, q1<q (то есть нашелся делитель числа a, который меньше q) q – не наименьший делитель числа a. Пришли к противоречию с условием теоремы. Предположение неверное, следовательно верно обратное. q – простое число.
□
Утверждение 2
p – наименьший делитель составного числа а, p≠1 .
Доказательство:
Представим a в виде a=pa1. Поскольку p – наименьший делитель числа a, то a1≥p a≥p2 в силу монотонности квадратичной функции на положительной полуоси, p≤ .
□