Явление взаимной индукции. расчет электрических цепей при учете явления взаимной индукции

Явление наведения э.д.с. в каком-либо контуре при изменении тока в другом контуре называется явлением взаимной индукции.

Рассмотрим два контура, расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Предположим, что ток протекает только в первом контуре. Линии магнитной индукции, сцепляющиеся с этим контуром, образуют потокосцепление самоиндукции , а те из них, которые сцепляются со вторым контуром, определяют потокосцепление взаимной индукции . Если ток протекает только по второму контуру ( ), то можно аналогично ввести понятия -потокосцепление самоиндукции второго контура и - потокосцепление взаимной индукции первого контура, создаваемое током во втором контуре.

При протекании токов в обоих контурах справедливы равенства

где и - полные потокосцепления первого и второго контуров. В этих соотношениях ставят знак "+", если поток взаимной индукции совпадает по направлению с потоком самоиндукции (согласное включение контуров) и знак " -" в противоположном случае (встречное включение).

Если сердечники катушек выполнены из материала с постоянной магнитной проницаемостью, то потокосцепление пропорционально , а потокосцепление пропорционально току . Коэффициенты пропорциональности обозначают буквой с соответствующими индексами и называют взаимной индуктивностью контуров:

На основе закона сохранения энергии можно показать, что взаимные индуктивности и равны друг другу : .

Для характеристики степени магнитной связи двух катушек вводят также безразмерный параметр, который носит название коэффициента связи:

Важным свойством коэффициента связи является его ограниченность , при этом нулевое значение коэффициента означает отсутствие магнитной связи между катушками.

Взаимная индуктивность характеризует связь между двумя контурами за счет общего магнитного поля и зависит от взаимного расположения контуров, в частности от расстояния между ними и от их взаимной ориентации. Очевидно, что при увеличении расстояния между катушками и при сохранении их взаимной ориентации величина взаимной индуктивности будет уменьшаться, так как интенсивность магнитного поля, создаваемого контуром с током, уменьшается с увеличением расстояния от него. Зависимость взаимной индуктивности от ориентации контуров наглядно иллюстрируется на рисунке.

Несмотря на близость двух контуров, линии индукции магнитного поля, создаваемого током в первом контуре, не пересекают плоскость второго, следовательно, взаимная индуктивность контуров равна нулю.

На величину взаимной индуктивности оказывает влияние также магнитная проницаемость объектов, находящихся в непосредственной близости от контуров. В частности, ферромагнитные тела могут существенно искажать картину магнитного поля, что в свою очередь может изменить (как увеличить, так и уменьшить) взаимную индуктивность контуров.

Э.д.с, наводимая в контуре, согласно закону электромагнитной индукции, определится соотношением

Тогда напряжение, приложенное к первому контуру, может быть записано в виде:

По аналогии, для приложенного ко второму контуру напряжения, имеем

При изменении токов по синусоидальному закону связь между токами и напряжениями определяется аналогичными соотношениями для комплексных величин

Взаимная индуктивность может быть как положительной величиной так и отрицательной. Принято считать, что > 0, если при протекании в катушках токов, направления которых условно приняты за положительные, потоки взаимной индукции совпадают по направлению с потоками самоиндукции, и < 0 в противном случае. Очевидно, что знак взаимной индуктивности зависит как от взаимного расположения контуров, так и от тех направлений токов, которые приняты за положительные.

Часто один из выводов каждой из индуктивно связанных катушек маркируют специальными значками, например, звездочками (*). Положительными направлениями токов в таком случае считаются направления токов от звездочки.

При таком определении знаков взаимной индуктивности можно сформулировать следующее правило для определения направления напряжения взаимной индукции: если в одной катушке положительное направление тока принято от звездочки, то положительное направление напряжения взаимной индукции на другой катушке также будет направлено от звездочки, и наоборот.

Рассмотрим две индуктивно связанные катушки, размещенные на одном сердечнике (рис. 9.1)

Промаркируем катушки произвольным образом, так как это показано на рис. 9.1а. Учитывая направление намотки и маркировку катушек, можем определить знак взаимной индуктивности. Если токи в катушках направить от звездочек, то их потоки совпадут по направлению, а это значит, что взаимная индуктивность положительна.

При другом варианте маркировки (рис. 9.1б) получаем . Таким образом, маркировка катушек и знак на схеме однозначно определяют взаимные направления реальных магнитных потоков катушек, присутствующих в электрической цепи.

Рассмотрим две схемы (рис. 9.2) последовательного соединения этих катушек с маркировкой, указанной на рис. 9.1а

В зависимости от соединения катушек - согласного (рис. 9.2а) или встречного (рис. 9.2б) , будет изменяться вид уравнений, описывающих режим работы схемы.

Рассмотрим случай согласного включения катушек. Запишем уравнение второго закона Кирхгофа в комплексной форме

Падение напряжения на первой катушке складывается из двух составляющих - падения напряжения , совпадающего с направлением тока, и падения напряжения взаимной индукции от тока, протекающего во второй катушке . Для определения направления напряжения взаимной индукции обратим внимание на то, что ток протекает по второй катушке от звездочки. Это означает, что соответствующее падение напряжения , приложенное к первой катушке, также будет направлено от звездочки. Это направление совпадает с направлением обхода контура, и поэтому соответствующее слагаемое войдет в уравнение со знаком "+". Проведя аналогичный анализ для падения напряжения на второй катушке, получим, уравнение

или

Величина представляет собой эквивалентную индуктивность всей цепи. Эквивалентная индуктивность — величина сугубо положительная, что следует из выражения для энергии магнитного поля

Переход от согласного включения к встречному может быть осуществлен путем пересоединения концов обмотки одной из катушек (рис. 9.2б). Уравнение второго закона Кирхгофа для этого случая отличается от предыдущего тем, что падения напряжения взаимной индукции входят в уравнение со знаком "-". Действительно, ток во второй катушке теперь направлен к звездочке. Это означает, что соответствующее падение напряжения на первой катушке будет направлено к звездочке и не совпадает с направлением обхода контура. Точно также падение напряжения направлено в сторону, противоположную направлению обхода контура и, следовательно, войдет в уравнение со знаком "-"

или

Эквивалентная индуктивность системы из двух катушек в этом случае равна

Как и в предыдущем случае, эта индуктивность больше нуля.

Изменение величины эквивалентной индуктивности при пересоединении концов обмотки одной из катушек может быть использовано на практике для определения величины взаимной индуктивности:

На рисунке 9.3 показаны векторные диаграммы для согласного (а) и встречного (б) включений катушек при одинаковом значении тока в обоих случаях.

Построение векторной диаграммы для случая (а) начнем с вектора тока . Затем отложим вектора падений напряжения на резисторе , катушке индуктивности , резисторе , катушке индуктивности . Вектора напряжений взаимной индукции будут совпадать по направлению с векторами напряжений самоиндукции и в соответствии с правилом, сформулированным выше. Сложив вектора, соответствующие всем падениям напряжений, получим вектор э.д.с. , действующей в контуре.

Векторная диаграмма для случая (б) строится в той же последовательности, однако теперь вектора напряжений взаимоиндукции противоположны по направлению векторам напряжения самоиндукции и .

В качестве примера более сложной задачи рассмотрим формирование уравнений Кирхгофа для цепи, изображенной на рис. 9.4. Взаимное влияние катушек друг на друга учитывается маркировкой и величинами взаимных индуктивностей , , .

Условно положительные направления токов в ветвях показаны стрелками. В соответствии с первым законом Кирхгофа можем сформировать одно уравнение

Для формирования уравнений второго закона Кирхгофа выберем независимые контура и зададим направление их обхода так, как это показано на рисунке. Рассматривая контур с источником э.д.с., заметим, что падение напряжения на катушке индуктивности складывается из трех составляющих: падения напряжения от тока, протекающего в этой катушке и напряжений взаимной индукции и . Слагаемое войдет в уравнение со знаком "+", так как ток направлен в катушке индуктивности к звездочке, следовательно, напряжение взаимной индукции будет также направлено к звездочке и совпадает с направлением обхода контура. Во втором случае ток направлен в катушке от звездочки, он создает падение напряжения на катушке от звездочки, направленное противоположно обходу контура, и соответствующее падение напряжения войдет в уравнение со знаком "-".

Проведя аналогичные рассуждения для определения знаков напряжений на катушках и , запишем уравнения второго закона Кирхгофа: