Учебно-методические материалы

Задача № 11. Составить уравнение касательной и нормали кривой в данной точке

Решение: По формуле (41) имеем

или (*)

Находим координаты точки касания :

Затем определим производную от по , как от функции заданной параметрически, по формуле (43)

Вычислим ее значение для точки касания

.

Подставляя и в уравнение (*), получим

,

,

– уравнение касательной

или

По формуле (42) имеем

или (**)

Подставляя и в уравнение (**), получим

– уравнение нормали

или

Ответ: ,

Задача № 12. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Т.к.

Следовательно, – вертикальная асимптота.

По формуле (46) находим

Таким образом, – наклонная асимптота графика функции.

Рассмотрим

(горизонтальной асимптоты нет)

Ответ:

.

Задача № 13. Провести полное исследование и построить график функции

Решение: Воспользуемся планом полного исследования функции (см. § 5 главы III)

I. Функция определена на всей числовой оси кроме точки , т.е.

1.

В точке функция имеет разрыв II-го рода, т.к.

Аналогично рассматривается .

2. Функция является нечетной, т.к. график симметричен относительно начала координат, функция является непериодической.

3. Точек пересечения с осями координат нет.

II. Найдем асимптоты.

– вертикальная асимптота.

Для нахождения наклонных асимптот воспользуемся формулами (46)

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Горизонтальной асимптоты нет, т.к. .

III. Находим производную первого порядка:

. Производная обращается в нуль при и не существует при . Однако, критическими точками являются только точки и : они лежат внутри области определения функции и в них эта функция непрерывна. Точка .

Исследуем критические точки по знаку производной .

Следовательно, функция возрастает на , убывает на .

IV. Находим производную второго порядка

,

Имеем и не существует при , но

Следовательно, точек перегиба нет.

Находим интервалы выпуклости функции и вогнутости :

Т.е. функция выпукла на и вогнута на .

V. Построим график функции

Задача № 14. Вычислить

Решение:

.

Находим

.

Находим смешанную производную

Ответ: .

Задача № 15. Найти , .

Решение:

Воспользуемся формулой (44): .

Преобразуем уравнение к виду , .

Находим

Следовательно, ,

.

Ответ:

Задача № 16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

,

Решение:

I. Ищем критические точки функции , лежащие внутри :

Решая систему уравнений , находим критические точки и . Ни одна из них не лежит внутри области . Других критических точек функция не имеет.

II. Находим наибольшее и наименьшее значения на границе заданной области.

а) На участке АОВ имеем , где .

Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке :

1) ; при ; .

2) Находим .

3) Сравнивая значения во внутренней критической точке и на концах , заключаем: наибольшее значение на отрезке равно 5, т.е. , а наименьшее значение на этом отрезке равно нулю (в точке ).

б) На участке АВ имеем где :

Ищем наибольшее и наименьшее значения на отрезке :

1) внутри данного отрезка при ; .

2) Находим .

3) Наибольшее значение на отрезке равно 5 в точках , а наименьшее значение на этом отрезке равно 0,77 (в точке ).

Сопоставляя значения на участках АОВ и АВ, приходим к выводу: на всей границе наибольшее значение функции равно 5 (в точках А и В, а ее наименьшее значение равно 0 (в точке О).

III.Внутри заданной замкнутой области функция не имеет точек экстремума, ее наибольшее и наименьшее значения достигаются в точках, лежащих на границе этой области. В граничных точках и функция имеет наибольшее значение, , а в граничной точке она имеет наименьшее значение, .