Характеристические функции некоторых основных типов плоского потока
Исследование плоского потока методом комплексного переменного начнём с того, какие типы плоского потока соответствуют простейшим аналитическим функциям.
Исследуем течения, заданные характеристическими функциями вида
F(z) = Az и F(z) = Alnz.
I. Пусть характеристическая функция имеет вид F(z) = Az,
где z = x +iy, a A - любое комплексное или действительное число. Пусть, например, А = А1 + iA2.
Отделим в F (z) действительную часть от мнимой:
.
Следовательно, потенциальная функция jи функция тока y выразятся следующим образом:
(7.43)
Приравнивая полученное выражение потенциальной функции j постоянной С, найдем уравнение семейства эквипотенциальных линий:
А1х – А2y = С.(7.44)
Из (7.44) следует, что эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A1/А2.
Уравнение семейства линий тока найдем, приравняв выражение для y(7.43) постоянной С*:
А1у + А2х = С**.(7.45)
Рис. 7.21. Сетка, изображающая прямолинейно-параллельный поток в направлении, показанном стрелками. |
Отсюда следует, что линии тока – прямые с угловым коэффициентом (-A2А1).
Таким образом, заданная характеристическая функция соответствует прямолинейно-параллельному потоку. Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 7.21.
Чтобы определить массовую скорость фильтрации, вычислим производную от F (z) no z. Согласно формулам (7.41) и (7.42).
При А1=0–поток параллелен оси 0у, а при А2=0–параллелен оси 0х.
II. а) Пусть характеристическая функция задана в виде:
F(z) = A ln z, (7.46)
где А – некоторое действительное число.
Рис. 7.22. Карта эквипотенциальных линий и линий тока |
Представим комплексный аргумент z с помощью полярных коoординат так ( рис. 7.22):
z = х +i y =
=r (cos θ + i sin θ) = reiθ, (7.47)
где г – радиус - вектор точки; θ – полярный угол.
Подставляя значение z в (7.46) и отделяя действительную часть от мнимой, получим:
F(z) = A In (reiθ) = A In r + iAθ.
Значит
j=Alnr; y=Aθ. (7.48)
Приравнивая эти значения jи y постоянным, найдем уравнения эквипотенциальных линий и линий тока в следующем виде:
· для эквипотенциальных линий – ν=const (7.49)
· для линии тока – θ = const. (7.50)
Очевидно, эквипотенциальные линии будут концентрическими окружностями с центром в начале координат (рис. 7.22). Линии тока – прямые, проходящие через начало координат.
В данном случае имеется плоскорадиальный (сходящийся или расходящийся) поток. Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат.
Найдем массовую скорость фильтрации, для чего вычислим производную от функции F(7.46) по z:
.
Эта производная – комплексное переменное, модуль которого равен массовой скорости и представляет собой множитель перед е-iθ.Следовательно , (7.51)
то есть массовая скорость фильтрации обратно пропорциональна расстоянию от скважины. (Точка г = 0 является особой точкой плоскости; здесь и функция F (z) уже не будет аналитической). Для плоскорадиального потока имеем:
, (7.52)
где G = const – массовый дебит; h– мощность пласта.
Приравнивая правые части (7.51) и (7.52), определим коэффициент А:
. (7.53)
Подставив это значение А в формулу (7.46), получим
, (7.54)
где положительный дебит G соответствует случаю стока (эксплуатационной скважине), а отрицательный - случаю источника (нагнетательной скважине).
Таким образом, функция (7.54) характеризует плоскорадиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности. Скважина предполагается гидродинамически совершенной.
II. b) Пусть характеристическая функция имеет вид:
, (7.55)
где а = а1 + ia2.
Это значит, что особая точка, в которой помещается точечный сток или точечный источник, сдвинута в направлении оси 0х на расстояние а1., а в направлении оси 0yна расстояние a2, и следовательно, центр поперечного сечения скважины находится не в начале координат, а в точке а = а1 + ia2.
Если представить комплексное переменное z-а в полярных координатах, то получим
, (7.56)
где r – расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а1 + ia2, в которой помещается сток или источник; θ– полярный угол с вершиной в этой особой точке.
В соответствии с формулами (7.48) и (7.56)
(7.57)
Примечание. Потенциальная функция j и функция тока yопределяются с точностью до произвольной постоянной. В формулах (7.57), выражающих j и y, опущены произвольные постоянные, но их надо учитывать при определении дебита.
III. Пусть в основной плоскости течения имеется несколько точечных стоков и источников (несколько эксплуатационных и нагнетательных скважин).
Потенциальную функцию течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками j, можно определить по методу суперпозиции, описанному в параграфе 7.1, как алгебраическую сумму потенциальных функций течений, поддерживаемых отдельными стоками и источниками, если бы каждый из них был единственным в пласте.
На основании первого равенства (7.57) запишем
, (7.58)
где Gj – массовый дебит стока или источника за номером j; rj – расстояние любой точки плоскости потока до этого стока или источника; n – число стоков и источников.
Метод суперпозиции основан на известных свойствах уравнения Лапласа, которому подчиняется потенциал j, а именно, сумма частных решений уравнения Лапласа есть решение этого уравнения.
В то же время существование потенциальной функции jjозначает существование наряду с ней функции тока yj,соответствующей каждому стоку и источнику. Функция yjудовлетворяет уравнению Лапласа; следовательно, по отношению к функции тока можно применять метод суперпозиции. Функция тока y для течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками, определится аналогично потенциалу сложного потока:
. (7.59)
Характеристическая функция сложного потока, согласно формулам (7.34), (7.58, 7.59), определится уравнением:
(7.60)
где Fj (z) – характеристическая функция, соответствующая стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке аj-:
. (7.61)