Задачи к контрольным заданиям 2 страница
Таблица С2
| Сила | ||||||||
| Номер условия | F1 = 4 кH | F2 = 6 кH | F3 = 8 кH | F4 = 10 кH | ||||
| Точка прилож. | , град. | Точка прилож. | , град. | Точка прилож. | , град. | Точка прилож. | , град. | |
| D | - | - | E | - | - | |||
| H | D | - | - | - | - | |||
| - | - | E | - | - | D | |||
| - | - | - | - | E | H | |||
| E | - | - | H | - | - | |||
| - | - | D | H | - | - | |||
| - | - | H | - | - | D | |||
| E | H | - | - | - | - | |||
| - | - | - | - | D | E | |||
| - | - | E | D | - | - |
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Произвольная пространственная система сил».
Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:
1. Момент силы относительно оси, его вычисление. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? Объясните каждый случай, опираясь на правило вычисления.
2. Какая система сил называется пространственной (произвольной пространственной)?
3. Сформулируйте и запишите уравнения: условия равновесия пространственной системы сил в векторной и алгебраической (координатной) формах.
Пример С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. C2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила , (параллельная оси у) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).
| Дано: Р= 5 кН, М= 3 кН ×м, F1= 6 кН, F2 = 7,5 кН, а = 30°, AВ =1 м, ВС= 2 м, СЕ = 0,5 АВ, ВК = 0,5 ВС. Определить: реакции опор А, В и стержня DD'. |
Решение. Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют:
а) активные силы и пара сил, момент которой М;
б) реакции связей: реакцию сферического шарнира A разложим на три составляющие , цилиндрического шарнира (подшипника) B – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.
Силы, приложенные к плите, образуют пространственную систему сил. Составляем уравнения ее равновесия:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Для определения момента силы относительно оси y раскладываем на составляющие и , параллельные осям х и z ( ), и применяем теорему Вариньона (относительно оси). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .
Подставив в уравнения (1)-(6) числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, найдем величины реакций связей.
В своей задаче систему уравнений (1)-(6) следует решить полностью и с пояснениями. Сделайте проверку, например, составив уравнение моментов относительно оси x1, проведенной параллельно оси x.
Ответ: ХА = -5,2 кН, YA = 3,8 кН, ZA = 28,4 кН, YB = -7,5 кН, ZB = -12,4 кН, N = 14,5 кН, Знаки указывают, что силы , и направлены противоположно показанным на рис. C2.
Вопросы для самоконтроля по статике
1. Предмет статики. Основные понятия статики (абсолютно твердое тело, сила, эквивалентные и уравновешенные системы сил, равнодействующая, внешние и внутренние силы). Аксиомы статики. Теорема об уравновешивании двух сходящихся сил третьей силой.
2. Несвободное твердое тело. Связи и реакции связей, виды связей.
3. Проекция силы на ось и на плоскость.
4. Система сходящихся сил. Геометрический и аналитический (координатный) способы нахождения равнодействующей. Условия равновесия системы сходящихся сил в векторной, графической и аналитической формах.
5. Алгебраический момент силы относительно точки. Момент силы относительно центра как вектор.
6. Момент силы относительно оси; случаи равенства нулю этого момента.
7. Пара сил. Алгебраический момент пары сил. Момент пары сил как вектор.
8. Условие эквивалентности пар сил (без доказательства). Свойства пары сил.
9. Теорема о параллельном переносе силы.
10. Приведение произвольной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил и их нахождение.
11. Частные случаи приведения системы сил к центру (равнодействующая, пара сил, динамический винт) (без доказательства).
12. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы относительно центра и оси (без доказательства).
13. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил в векторной и аналитической (координатной) формах.
14. Частные случаи уравнений равновесия (плоская система сил, система параллельных сил на плоскости и в пространстве).
КИНЕМАТИКА
В кинематике рассматривается движение точек, тел и механических систем без учета действующих сил (геометрия движения).
В отличие от статики, темы задач разные; поэтому краткие сведения из теории помещены в каждой задаче.
Задача К1
(тема: “Кинематика точки”)
Задача К1. Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х= f1 (t), у = f2 (t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах (координатный способ задания движения точки). Зависимость х=f1 (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f2 (t) дана в табл. К1.
Найти уравнение траектории точки, а для момента времени t1 = 1с определить координаты, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Выполнить чертеж, на котором построить траекторию точки, отметить положение точки при t1 = 1с и в этом положении построить все найденные векторы.
Таблица К1
| Номер условия | |||
| Рис. 0-2 | Рис. 3-6 | Рис. 7-9 | |
Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.
В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = 1 с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 – 2sin2a = 2 cos2a- 1; sin 2a = 2sin a×cos a.
В задаче К1а чертеж следует выполнить на клетчатой или миллиметровой бумаге, указав масштабы длины, скорости и ускорения.
| Рис. К1.0 | Рис. К1.1 | Рис. К1.2 |
| Рис. К1.3 | Рис. К1.4 | Рис. К1.5 |
| Рис. К1.6 | Рис. К1.7 | Рис. К1.8 |
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Кинематика точки».
Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:
1. Что означает задать движение точки?
2. Три основных способа задания движения точки (векторный, координатный, естественный).
3. Объясните, как в каждом из способов задать движение точки (уравнения движения);
4. Как определяются траектория точки, ее скорость и ускорение (величина и направление) в каждом способе?
5. Поясните, как строятся естественные оси (в какой точке находится начало координат, каково направление каждой оси);
6. Каков физический смысл векторов ;
7. Поясните, как определить характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).
Пример К1. Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:
, (1)
, (2)
где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.
Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при (начальное положение) и при c; скорость точки; ускорение точки; касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории при c. В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.
Решение.1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t – время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно
.
Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем:
Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).
Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.
2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):
3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):
Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат.
4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) – уравнения движения точки – находим
, (3)
. (4)
Модуль скорости . Подставляя сюда (3), (4), получим
. (5)
При с : , ,
. (6)
Выберем масштаб для скоростей (рис. К1а), проведем в точке M1 линии параллельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5,44 по оси x и - 4,71 по оси y, что соответствует величинам и знакам найденных проекций вектора скорости. На этих составляющих строим параллелограмм (прямоугольник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору . Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению (с учетом масштаба скоростей). Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории.
| Масштаб длины: _____ =1м, скорости ___ =1м/с, ускорения: __ =1м/с2 Рис. К1а. | В точке именно сейчас построим естественные оси: касательную и главную нормаль (эти оси потребуются позже). Каса-тельную проводим вдоль ; главную нормаль проводим перпендикулярно в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке (в сторону вогнутости траектории). |
5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):
, (7)
. (8)
Модуль ускорения . Из (7), (8) получим
. (9)
Подставляя в (7) - (9) , найдем
, ,
. (10)
В точке строим в масштабе проекции ускорений , учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения . Построив , следует проверить, получилось ли на рисунке (c учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор в сторону вогнутости траектории (вектор проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).
6. Находим касательное ускорение , характеризующее изменение модуля .
Учитывая (5), получим .
При
. (11)
Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим
, откуда следует
Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления , можно найти по формуле
, (12)
если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, ) по формуле
. (13)
Так как в данной задаче радиус заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим
. (14)
Вернемся к рис. К1а. Ранее на этом рисунке вектор был построен по составляющим , . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям и (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы и . Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины , и убедиться, что они совпадают с (11), (14).
Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов и совпадают (рис. К1а).
Найдем радиус кривизны , используя (12), откуда следует, что . Подставляя в последнее соотношение и из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке : . Отложим на рисунке от точки по оси отрезок длины (в масштабе длин); полученная точка есть центр кривизны траектории в точке .