Вычисление с помощью знакоположительных рядов
Пример 10. Вычислить число 
с точностью до 0,001.
Решение.
В ряд для функцїї 
подставим 
. Получим:
Оценим погрешность, которая возникает при замене суммы ряда суммой первых 
членов. Запишем очевидное неравенство:
,
то есть 2< 
<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа: 
, 
.
По условию задачи нужно найти n такое, чтобы выполнялось неравенство: 
или 
.
Легко проверить, что при n = 6: 
.
Следовательно, 
.
Отсюда 
Пример 11. Вычислить 
с точностью 0,0001.
Решение.
Заметим, что для вычисления логарифмов можно было бы применить ряд для функции 
, но этот ряд очень медленно сходится и для достижения заданной точности нужно было бы взять 9999 членов! Поэтому для вычисления логарифмов, как правило, используется ряд для функции 
, который сходится на интервале 
.
Вычислим 
с помощью этого ряда. Пусть 
, тогда 
.
Следовательно, 
,
или 
.
Для того, чтобы вычислить 
с заданной точностью, возьмем сумму первых четырех членов: 
.
Остаток ряда 
отбросим. Оценим погрешность. Очевидно, что 
или 
.
Отсюда
Таким образом, в ряду, который был использован для вычисления, достаточно было взять только четыре первые слагаемые вместо 9999 в ряду для функции 
.
Лекция 17. Элементы финансовой математики
Общие положения финансовой математики
Условно методы финансовой математики делятся на две категории: базовые и прикладные.
К базовым методам и моделям относятся:
1) простые и сложные проценты как основа операций, связанных с наращением или дисконтированием платежей;
2) расчет последовательностей (потоков) платежей применительно к различным видам финансовых рент.
К прикладным методам финансовых расчетов относятся:
1) планирование и оценка эффективности финансово-кредитных
операций;
2) расчет страховых аннуитетов;
3) планирование погашения долгосрочной задолженности;
4) планирование погашения ипотечных ссуд и потребительских кредитов;
5) финансовые расчеты по ценным бумагам;
6) лизинговые, факторинговые и форфейтинговые банковские операции;
7) планирование и анализ инвестиционных проектов и др.
Основными понятиями финансовых методов расчета являются: процент – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме;
процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный интервал времени, измеряемая в процентах или в виде дроби;
период начисления – интервал времени, к которому приурочена процентная ставка;
капитализация процентов – присоединение начисленных процентов к основной сумме;
наращение – увеличение первоначальной суммы в связи с капитализацией;
дисконтирование – приведение стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, обычно более ранний момент времени (операция, обратная наращению).
В финансовых расчетах используются следующие виды процентных ставок:
в зависимости от базы для начисления процентов различают простые проценты (постоянная база) и сложные проценты (переменная база);
по принципу расчета различают ставку наращения – декурсивная ставка и учетную ставку – антисипативная ставка;
по постоянству значения процентной ставки в течение действия контракта – фиксированные и плавающие (фиксируется ли изменяющаяся во времени база и размер надбавки к ней - маржи).
Существуют различные способы начисления процентов от предоставления денег в долг в любой форме. Соответственно применяют
разные виды процентных ставок.
Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная и последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования.
При постоянной базе используют простые проценты, при переменной – сложные процентные ставки.