Приложение 1. Конечномерные линейные пространства

Вводные сведения.

Множества. Обозначаем Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru множество объектов Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , представляющих собой последовательность вещественных или комплексных чисел Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . В первом случае - вещественных, во втором – комплексных последовательностей. Объекты этого множества можно покомпонентно складывать по правилу: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , получая новый элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru того же класса. Элементы из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru можно умножать на вещественное или комплексное число Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , по правилу: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , вновь получая элемент того же класса. Таким образом, Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru образует Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - мерное линейное пространство, поскольку вместе с любыми своими элементами содержит и их линейные комбинации. Индексы, нумерующие компоненты объекта Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , могут располагаться внизу, как это записано выше, либо вверху. Различие между двумя этими случаями, конечно, есть, но оно появляется в вопросах не связанных с рассматриваемыми в этой книге. Не следует также спешить и называть линейное пространство векторным или Евклидовым – понятия наверняка известные читателю. Дело в том, что вектора – это более частные и, в какой-то мере, сложные объекты, чем введенные элементы из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , хотя они и представляются своими координатами, как элементами из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Например, вектора имеют такую операцию, как векторное умножение, которой нет в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Еще, и это самое важное, вектора чувствительны к преобразованиям координат, определенным образом меняя свои компоненты (элементы из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ), при координатных преобразованиях оставаясь тем же самым вектором (вот тут-то и сказывается различие между верхними и нижними индексами). В пространства Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru две разных числовых последовательности – это два разных объекта, даже если они суть координаты одного и того же вектора в разных системах координат. Иногда все-таки элементы из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru называют векторами, основываясь на том, что правило сложения, определенное выше – это в точности правило параллелограмма для сложения векторов. В тех случаях, когда они и не являются векторами по существу, правильнее назвать Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - мерные объекты Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru элементами фазового пространства, а представление его в виде линейного векторного пространства Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ( т.е. состоящего из векторов) рассматривать как модель - представление этого фазового пространства на пространстве векторов.

Частным случаем линейных векторных пространствслужат Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - мерные векторные пространства Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , введенные и рассмотренные в приложении 1.

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru векторов Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru линейного векторного пространства независимы (линейно независимы), если из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , следует, что все Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Если линейное пространство содержит Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru линейно независимых векторов, то любые из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru векторов уже линейно зависимы и, следовательно, существует набор ненулевых чисел Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , такой что

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Число Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru называется размерностью линейного векторного пространства.

Элементы из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru могут быть коэффициентами отрезка ряда Тейлора или отрезка любого другого ряда, например, ряда Фурье или разложения по ортогональным полиномам. Они могут быть и координатами вектора, но этот конкретный смысл важен при решении конкретных практических задач. Понятие Евклидового пространства также требует кое-каких дополнительных свойств. Они будут введены ниже.

Нормы. Линейное пространство Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru становиться линейным нормированным пространством Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru после того, как для каждого его элемента Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru определена норма этого элемента Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , представляющая собой вещественное число (имеющее смысл «длины» элемента Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ), удовлетворяющая следующим трем условиям:

1. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru тогда и только тогда, когда Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru (определенность);

2. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru (неравенство треугольника);

3. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru (однородность).

Типичными примерами конечномерных линейных нормированных пространств (ЛНП), построенных на основе Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , служат пространства Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , состоящие из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru оснащенного нормой:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . (п.1.1)

Легко увидеть, что условия, наложенные на норму для (1), выполнены.

Для так введенной нормы справедливо неравенство Гельдера:

Если неотрицательные числа Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru таковы, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , то

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Справедливо также, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Три частных случая являются исключительно важными. Это случаи:

1. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ;

2. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ;

3. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

В последнем случае, пространство Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru с нормой Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru называется Евклидовым. В нем норма равна привычной длине, вычисленной по известному правилу сложения квадратов катетов и последующего извлечения квадратного корня. Учитывая особое значение именно этой нормы, ее будем обозначать без индексных символов: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru Есть еще одно обобщение нормы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Оно состоит во введении положительных весовых множителей Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и вычислении нормы в пространстве Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru по правилу:

4. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Важным понятием является понятие сходимости бесконечной последовательности элементов Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Последовательность Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru сходится к элементу Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru (это записывается Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ), если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Это можно сказать - Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru -предельный элемент для Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . С точки зрения сходимости, все введенные выше нормы эквивалентны. Точнее говоря, если последовательность Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru сходится к элементу Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru в одной из норм Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , то она сходится и в любой другой. Однако эта эквивалентность по сходимости совсем не означает эквивалентности по другим свойствам, и, прежде всего свойствам близости элемента к фиксированному множеству Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Выпуклой комбинациейконечного числа элементов Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru называется совокупность всех таких элементов Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , которые можно представить в виде Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Множество Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , образованное из элементов, все выпуклые комбинации которых вновь принадлежат Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , называется выпуклым.

Множество Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , все предельные элементы последовательностей которого вновь принадлежат Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , называется замкнутым.

Базисными элементами Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru в линейном нормированном пространстве Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru назовем элементы из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru компоненты, которых для значения индекса Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru равного Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru равны единице, а для остальных Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru значений индекса Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , эти компоненты равны нулю. Например

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ……….. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Тогда каждый элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru можно записать в виде Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Это же равенство записывают в форме: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Компоненты Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru независимы, поэтому они не складываются, а сумма понимается как суперпозиция независимых элементов.

Скалярное или внутреннее произведение двух элементов Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru : Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru определено равенством Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . В том случае, если пространства состоят из комплексных чисел:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , где Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - комплексно сопряженные к Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru числа.

Ясно, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Совершенно очевидно, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

В качестве базисных могут быть выбраны и другие элементы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Условие на базисные элементы состоит в том, что они образуют полную систему в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , а это значит, что любой элемент из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru можно представить в виде Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Число элементов базиса в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ровно Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Любой дополнительный базисный элемент, если его ввести может быть выражен в виде линейной комбинации Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Наоборот, если взять базисных элементов меньше чем Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , например Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , то найдутся элементы в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru непредставимые в этом базисе. И более того, можно сделать так, что эти элементы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru будут ортогональны всем другим, представимым в виде Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Из неравенства Гельдера следует, что:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и; в частности, при Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru : Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Для векторов на плоскости и в пространстве известно, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , где Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - косинус угла между векторами Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru соответственно. Тогда величину Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru можно отождествить с «косинусом угла» между произвольными элементами из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Операторы. Линейным оператором из линейного нормированного пространства (ЛНП) Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru в ЛНП Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru называется отображение Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , ставящее в соответствие каждому элементу Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , обладающее свойством линейности:

Для любых двух Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и чисел (вещественных, либо комплексных, в зависимости от вещественности, либо комплексности Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ) Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru :

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Подадим на «вход оператора Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru Его образом при отображении Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru оказывается

элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Это элемент из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Откликом на элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru будет служить Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и так далее. Откликом на элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru будет Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Поскольку любой элемент из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru представим в виде Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , то в силу линейности оператора Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru откликом на Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru будет сумма откликов на Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Таким образом, действие оператора Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru эквивалентно действию на компоненты «вектора» Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru в базисе Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru прямоугольной Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрицы:
Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Эта матрица состоит из вещественных чисел, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru вещественные ЛНП, и комплексных, в противном случае. Расчеты проводятся по формуле:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Часто пользуются правилом суммирования, согласно которому по дважды повторяющемуся в выражении индексу происходит суммирование по всем его значениям. Тогда Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Алгебра матриц.

Матрицу можно умножить на скаляр, умножив на него все компоненты.

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Две прямоугольные матрицы одного размера можно сложить, сложив их компоненты:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Две матрицы можно перемножить. Для этого должны быть согласованы их размерности. Пусть Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - матрица размером Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Тогда определено их произведение:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Результирующая матрица оказывается квадратной размера Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - размерности Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru или ранга Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Важными служат операции комплексного сопряжения матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru : Комплексно сопряженная Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица к Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru состоит из элементов комплексно сопряженных к элементам Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Транспонированная Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица получается заменой строк на столбцы. Если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица, то Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица, в которой все строки матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru заменены ее столюуами. Наконец, сопряженная к Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Для вещественных матриц комплексно сопряженная совпадает с исходной – это очевидно. Тогда сопряженная совпадает с транспонированной.

Обратной к Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрице называется матрица Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru такая, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Эта матрица может и не существовать. Но, если она существует, то Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , где Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - единичная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные – нулю:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Следующее свойство сопряженной матрицы является ее строгим определением.

Если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru - Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , то

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Наибольшее значение имеют квадратные матрицы.

Типы матриц. Матрица называется:

Симметричной, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ;

Ортогональной, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ;

Эрмитовой, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ;

Унитарной, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ;

Легко понять, что унитарные матрицы, примененные к вектору, не меняют его Евклидовой длины Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . (хотя меняют длину в других определениях нормы). Это следует из равенства Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Нормальной, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Невырожденной, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Из курса алгебры известно, что для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель не был равен нулю. Иными словами, чтобы матрица была невырожденной.

Напомним некоторые свойства определителя:

Определительпроизведения равен произведению определителей:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Поскольку определитель единичной матрицы равен 1: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , то отсюда следует, что:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Определитель матрицы обозначают также символом Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Следующие два утверждения эквивалентны: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru уравнение Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru имеет ненулевые решения.

Нетрудно понять, что строки вещественной ортогональной матрицы образуют взаимно ортогональные элементы: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Наконец, матрица называется положительно полуопределенной, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и положительно определенной, если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и равенство Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru выполнено только при Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Множество квадратных матриц образует линейное пространство, поскольку на нем определены операции умножения на число и операция умножения, в результате которых возникает вновь квадратная матрица того же ранга.

Норма матриц. Определим норму матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru правилом[35]:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Таим образом, справедливо неравенство:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Норма единичной матрицы равна единице: Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Величины Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru могут быть определены в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru соответственно. В этом случае, возникают различные нормы матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , в случае Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru индексы в обозначении нормы опускаем.

В том случае, когда Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , норма векторов рассчитывается по формуле:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , норма Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru рассчитывается по правилу:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Действительно:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Норма Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru имеет специальное название – норма Шмидта. Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Справедливым является неравенство:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ,

которое и определяет эту норму.

Собственные числаи собственные элементы. Для квадратной матрицы порядка N рассмотрим задачу на собственные значения:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Числа Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , для которых решение этого уравнения существует, будем называть собственными числами (значениями), а решения соответствующие этим числам – собственными элементами или векторами, если это последнее название допустимо. Для того чтобы найти все собственные числа, надо решить характеристическое уравнение:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Поскольку определитель квадратной матрицы размерности N - это полином степени N, то корней характеристического уравнения или, что, то же самое, собственных чисел матрицы A ровно N.

Если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru любая неособенная (невырожденная) матрица того же ранга, то собственные числа матрицы A и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru совпадают. Это легко понять, поскольку

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Следующие свойства собственных чисел практически очевидны:

Если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru две квадратные матрицы, то их произведения, взятые в любом порядке, имеют одни и те же собственные числа.

Если матрица Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru неособенная, то характеристические числа обратной к Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru равны обратной величине собственных чисел Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , т.е. равны Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Любая эрмитова матрица имеет только вещественные собственные числа.

Если эрмитова матрица положительно определена (полуопределена), то ее собственные числа положительны (неотрицательны).

Положительно полуопределенную эрмитову матрицу всегда можно превратить в положительно определенную, исключив из рассмотрения те элементы, для которых Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Тогда для остальных элементов форма Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru никогда не будет нулевой, за исключением случая Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Это и означает положительную определенность. Напомним, что такие элементы обозначаются Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и образуют линейное подпространство (в частности, нулевое) в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Всегда можно рассматривать матрицу на ортогональном дополнении к Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , которое обозначим Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , которое совпадает с множеством значений самой эрмитовой матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Действительно из Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru следует Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и элемент Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru оказывается ортогональным любому элементу представимому в виде Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , т.е. ортогонален подпространству Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru наибольшее и наименьшее собственные числа эрмитовой матрицы, то:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Для любой квадратной матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрица Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru эрмитова и положительно полуопределена. Матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru имеют одни и те же собственные числа, равные квадрату собственных чисел матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Унитарная и ортогональная матицы имеют комплексные собственные числа по модулю равные единицы.

Спектральным радиусом Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru называется максимум модуля собственных чисел. Эти числа могут быть комплексными. Именно поэтому следует брать модуль.

Из сказанного выше следует, что спектральный радиус унитарной матрицы равен единице, а любое неособенное преобразование матрицы оставляет спектральный радиус неизменным (спектральный радиус инвариантен при преобразованиях с помощью неособенной матрицы).

Говорят, что матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru унитарно эквивалентны, если существует унитарная матрица Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Следующая теорема называется теоремой Шура.

Для любой квадратной матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru существует унитарная матрица Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru такая, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru унитарно эквивалентна треугольной матрице Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , где Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru собственные числа матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Отсюда, в частности, следует, что унитарно эквивалентная матрица к любой квадратной матрице может быть представлена в виде диагональной матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , в которой ненулевые члены только те, что стоят на диагонали и равны собственным числам исходной матрицы, и некоторой добавочной Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , ненулевые члены которой расположены только выше (или только ниже) диагонали. Матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru определены неоднозначно. Если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru нормальная матрица, то можно так подобрать Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , что матрица Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru окажется нулевой - состоящей только из нулей.

Спектральной нормой Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru квадратной матрицы называют положительное значение квадратного корня из наибольшего собственного числа матрицы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru :

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Спектральная норма и спектральный радиус совпадают для эрмитовых матриц. В общем же случае спектральный радиус не превосходит спектральной нормы.

Экстремальные свойства собственных чисел.Собственные числа для вполне непрерывных эрмитовых матриц обладают важным экстремальным свойством. Если Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru положительно определенная эрмитова матрица, то ее наибольшее собственное значение, обозначим его Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , обеспечивает максимум выражению:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru при условии, что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Иными словами,

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Причем, максимум достигается на собственном элементе Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , соответствующем этому собственному числу. Если этому собственному числу соответствует несколько, например, Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru разных собственных элементов Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , то максимум - Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru обеспечивается на каждом из них, и само это собственное число называем число кратности Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Очевидно, что линейная комбинация собственных элементов (векторов), соответствующих одному собственному числу, есть снова собственный элемент, соответствующий этому собственному числу. Действительно, Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Сумма кратностей всех собственных чисел равна размерности эрмитовой положительно определенной матрицы.

Далее второе собственное число Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru обладает теми же экстремальными свойствами, но уже на подпространстве Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , ортогональном ко всем элементам Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru :

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Пусть это число имеет кратность Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и его собственные элементы Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Процесс можно продолжить и собственное число Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru оказывается решением экстремальной задачи:

Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Здесь Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru подпространство в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , ортогональном ко всем элементам Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru ортогонально подпространству в Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru натянутому на Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Процесс этот можно продолжить, расположив собственные числа в порядке убывания, суммарная кратность которых равна Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Займемся теперь собственными элементами.

Для эрмитовых матриц собственные элементы, принадлежащие различным собственным числам ортогональны.

Действительно, пусть Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Тогда Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru . Но при Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru , следует что Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Аналогичное положение дел имеет место для ортогональных и унитарных операторов. (Их собственные числа по модулю равны единице). Доказывается это следующим образом. Пусть Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru и Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Тогда Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru .

Поскольку Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru Приложение 1. Конечномерные линейные пространства - student2.ru

Наши рекомендации