Некритериальное структурирование множества альтернатив

Возьмем две альтернативы А и Б. При их парном сравнении возможны только 3 варианта результата:

А лучше Б (будем обозначать это как А > Б)

А хуже Б (А < Б)

А и Б равноценны (А = Б)

Если сравнить попарно все альтернативы исходного множества, то часто можно получить нестрогую ранжировку. Например, для множества {a,b,c,d,e} можно получить: c > d > a = e > b, или тот же результат с номерами рангов

№ ранга	альтернатива
	c
	d
	a, e
	b

В итоге мы получили структурированное множество, не используя понятия "критерий".

Существует более десятка способов преобразования подобных структур в ранжировку.

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых способов, который называется "метод строчных сумм". Для реализации метода, прежде всего, нужно построить таблицу парных сравнений.

Для нашего примера она выглядит следующим образом.

	a	b	c	d
a	***
b		***	1/2		1,5
c		1/2	***		1,5
d				***

Наименования строк и столбцов соответствуют именам альтернатив. На пересечении строки и столбца ставятся числа по следующим правилам:

- ставится 1, если альтернатива с именем строки лучше альтернативы с именем столбца,

- ставится 0, если альтернатива с именем строки хуже альтернативы с именем столбца,

- ставится 1/2, если альтернатива с именем строки равноценна альтернативе с именем столбца.

Клетки таблицы, у которых имя строки совпадает с именем столбца, не заполняются (в нашем примере в этих клетках проставлены "звездочки"). Затем подсчитываются суммы строк (в примере - красные числа в крайнем справа столбце). Наконец, строится ранжировка альтернатив следующим способом.

Альтернативе, имеющей максимальную строчную сумму, присваивается ранг 1. Альтернативе, имеющей следующую по величине сумму, присваивается ранг 2 (в нашем примере таких альтернатив две: b и c). И так далее, пока не будут отранжированы все альтернативы.

В итоге, получаем ранжировку:

№ ранга	альтернатива
	a
	b, c
	d

Описанный метод – лишь один из многих методов упорядочения альтернатив на основе результатов парных сравнений.

Структурирование множества альтернатив с использованием критериев

В этом случае, исходная модель имеет вид следующей таблицы.

	k1	k2	...	km
a1	x11	x12	...	x1m
a2	x21	x22	...	...
...	...	...	...	...
an	xn1	xn2	...	xnm

Имена строк представляют имена альтернатив, имена столбцов - имена критериев. На пересечении i-й строки и j-го столбца записывается оценка x_ij альтернативы a_i по критерию k_j .

Назовем такую форму представления модели выбора "критериальной таблицей".

Одним из способов упорядочения альтернатив является так называемая "линейная свертка" (взвешенная сумма). Суть его состоит в том, что сначала некоторым образом выбираются весовые коэффициенты критериев. Обозначим их вектором w=(w­₁ , w­₂ , ... , w_m). Затем, для каждой альтернативы (каждой i-ой строки таблицы) рассчитывается следующая величина

s_i = å x_ij w_j (сумма берется для всех j от 1 до m).

Наконец, принимается правило: чем больше значение s_i, тем лучше альтернатива a_i.

Кроме того, линейная свертка основана на неявном постулате: "низкая оценка по одному критерию может быть компенсирована высокой оценкой по другому". Однако, этот постулат верен отнюдь не для всех моделей сравнительной оценки "качества". Простейший пример – ухудшение качества видеоизображения не может быть компенсировано улучшением качества его звука.

Линейная свертка – простейший пример функции полезности. Таких функций разработано достаточно много.

Рассмотрим мультипликативную свертку. Она используется в моделях, основанных на постулате: "низкая оценка хотя бы по одному критерию влечет за собой низкое значение функции полезности". Записывается такая свертка следующим образом

s_i = П x_ij­w_j (произведение берется для всех j от 1 до m).

При этом, должны быть выполнены условия: 0≤ x_ij ≤ 1 и åw_j = 1. (где w – вес критерия)

В теории многокритериального анализа метод структурирования множества альтернатив (с учетом весов критериев или без него) принято называть "решающим правилом". Разнообразие решающих правил очень велико.

Методы теории игр.

Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников конфликтной ситуации, а именно, таких действий, которые обеспечили бы ему наилучший результат. Стороны, участвующие в конфликте называют игроками. Каждый игрок имеет некоторое множество возможных выборов, называемых стратегиями. Результаты или платежи в игре задаются функциями выигрыша, зависящими от стратегий каждого из игроков.

В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков.

Первые из них наиболее изучены. Игры трех и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения.

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные».

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.

Игра с двумя игроками, в которых выигрыш одного из них равен проигрышу другого, называется игрой двух лиц с нулевой суммой,или антагонистической.В такой игре достаточно задать результаты в виде платежей для одного из игроков.

Предполагается, что функция выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает одному игроку максимально возможный средний выигрыш, а другому – минимальный средний проигрыш.

Задачей теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии предполагается, что лицу, принимающего решение противостоит разумный противник.

Платежная матрица.

Рассмотрим конечную парную игру с нулевой суммой, где у игрока Аимеется m стратегий, а у игрока В – nстратегий (игра m×n). Обозначим стратегии игрока А через А₁, А₂,…, А_m, а стратегии игрока В через В₁, В₂,…, В_n.

В результате выбора игроками любой пары стратегий (А_i, B_j)однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-a_ij) игрока В.

Набор выигрышей a_ij для разных значений i, jрасполагают в виде матрицы, строки которой отвечают стратегия игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В.

Такая матрица называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид платежной матрицы представлен в следующей таблице.

Стратегии	В1	В2	…	Вn
А1	a11	a12	…	a1n
А2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Аm	am1	am2	…	amn

Задать игру означает задать m стратегий игрока А, n стратегий игрока В и платежную матрицу.

Пример 1. Пусть каждый из двух игроков А, В может записать независимо от другого цифры 1, 2, 3. Если разность между цифрами положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

В этой игре каждый из игроков имеет три стратегии – записать число 1, записать 2, записать 3, которые составляют матрицу игры 3×3., представляющую выигрыш игрока А.

стратегии	В1=1	В2=2	В3=3
А1=1 А2=2 А3=3		-1	-2 -1