Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции

Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Dx - приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента Dx соответствует беско­нечно малое приращение функции Df.

Отношение Df /Dx, как видно из рисунка 2.2.1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение Dy / Dx или, что то же самое (f(x + Dx) - f(x)) / Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx = 0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x + Dx) – f(x)) / Dx в точке Dx = 0, то он называется производнойфункции y = f(x)в точке x и обозначается y¢ или f¢(x):

Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru .

Нахождение производной функции y = f(x)называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x)в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная - это скорость изменения функции в точкеx (физический смысл производной). Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 2.2.2.

Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru

Так функция y = êx ê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

f(x) Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru f(x) Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru f(x) Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru
C Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru cosx -sinx
x lnx 1/x tgx 1/cos2x
xn nxn-1 ax axlna arcsina Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru
Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru 1/(2 Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru ) Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru arccosa - Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru
1/x -1 / x2 sinx cosx arctgx 1/(1+x2)

Приведем теперь основные свойства производной:

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f¢ (x) , и С ‑ произвольное число, то функция Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru имеет производную: (Cf(x))¢ = Cf¢ (x).

3. Если существуют f¢ (x)и g¢ (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S¢ (x) = f¢ (x) + g¢ (x).

4. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P¢ (x) = f¢ (x)g(x) + f(x)g¢ (x).

5. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x) и при этом g(x) ¹ 0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D¢ (x) = (f¢ (x) g(x) - f(x) g¢ (x)) / g2(x).

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x))имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции - student2.ru

Наши рекомендации