III. Теория разностных схем
ПРОГРАММА
Итогового государственного экзамена «Вычислительная математика»
для студентов, проходящих итоговую аттестацию на академическую степень «Бакалавр» по направлению 010500 «Прикладная математика и информатика»
Таганрог 2011
В соответствии с государственным образовательным стандартом, итоговый государственный экзамен «Вычислительная математика» по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика» является одним из видов аттестационных испытаний в составе итоговой государственной аттестации выпускников на академическую степень «Бакалавр». Он проводится с целью проверки уровня и качества общей и общепрофессиональной подготовки студентов по направлению специальности и наряду с требованиями к содержанию отдельных дисциплин учитывает также общие требования к знаниям и умениям выпускника по циклам дисциплин, предусмотренные Государственным образовательным стандартом по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика».
I. Элементы функционального анализа
1. Метрические пространства.
Определение метрического пространства и примеры метрических пространств.
Открытые и замкнутые, всюду плотные и совершенные множества.
Сходимость, непрерывные отображения, компактность.
Пополнение метрических пространств, основные теоремы в полных метрических пространствах: принцип вложенных шаров, теорема о категориях, принцип сжимающих отображений.
Компактность в метрических пространствах. Счетная и секвенциальная компактность.
2. Линейные операторы.
Группа, кольцо, поле, линейное пространство.
Линейные операторы, пространство операторов.
Банаховы пространства.
Выпуклые множества, функционал Минковского и полунормы.
Линейные ограниченные опрераторы в банаховых пространствах. Понятие F-пространства.
Принцип равномерной ограниченности.
Теорема об обратном операторе. Принцип открытости отображения.
Продолжение операторов и функционалов. Принцип продолжения Хана-Банаха.
3. Теория меры и интеграл Лебега.
Кольцо и полукольцо множеств. Мера на полукольце. Счетно-аддитивная мера.
Измеримые множества и функции.
Определение и свойства интеграла Лебега.
Пространство .
Гильбертово пространство.
Определение гильбертова пространства. Примеры пространств. Базис. Полные и сепарабельные пространства.
4. Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве.
Сопряженный оператор.
Вполне непрерывный оператор.
Абсолютная норма оператора.
Альтернатива Фредгольма.
II. Численные методы
1. Аппроксимация функций.
Линейная интерполяция.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Интерполяционная формула Ньютона.
Погрешность интерполирования: остаточный член интерполяционной формулы.
Интерполяция сплайнами.
Линейная аппроксимация. Метод наименьших квадратов.
Равномерное приближение.
Наилучшее приближение.
2. Численное интегрирование.
Формулы прямоугольников.
Формула трапеций.
Формула Симпсона.
Формула средних.
Формула Эйлера.
Процесс Эйткена.
3. Численное дифференцирование.
Полиномиальные формулы.
Простейшие формулы.
Метод Рунге.
4.Решение линейных уравнений и систем уравнений.
Метод исключения Гаусса. Прогонка. Метод квадратного корня.
Уравнение с одним неизвестным.
Дихотомия. Метод простых итераций.
Метод Ньютона. Метод секущих. Метод парабол.
5. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений.
Метод простой итерации.
Метод Ньютона. Метод секущих.
6.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши для ОДУ.
Метод ломаных.
Метод Рунге-Кутта.
Метод Адамса.
III. Теория разностных схем
1. Основные понятия теории разностных схем.
Сетки и сеточные функции.
Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
Погрешность аппроксимации на сетке.
Устойчивость разностных схем.
Сходимость и точность разностных схем.
Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью. Теорема Лакса.
Первая формула Грина. Вторая формула Грина.
Разностные уравнения II порядка. Задача Коши.
Краевые задачи I, II, III рода.
Интегро-интерполяционный метод.
2. Теория устойчивости разностных схем.
Разностные схемы как операторные уравнения.
Корректность операторных уравнений.
Каноническая форма двухслойных схем. Устойчивость двухслойной схемы по начальным данным. Устойчивость двухслойной схемы по правой части.
Каноническая форма трехслойных схем. Устойчивость трехслойных схем по начальным данным.
Метод энергетических неравенств. Метод разделения переменных. Условие -устойчивости. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость, как ограниченность норм степеней оператора перехода.
3. Методы решения сеточных уравнений.
3.1. Прямые методы решения разностных уравнений.
Методы для трехточечных уравнений- прогонки и редукции.
3.2. Итерационные методы.
Метод простой итерации.
Метод Зейделя.
Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами. Итерационный метод переменных направлений.
Метод верхней релаксации.
Попеременно-треугольный итерационный метод.
4. Принцип максимума для разностных схем.
Принцип максимума и его следствия.
Теорема сравнения и следствия из нее.