Етодические указания к выполнению задания 2.
Методы расчета цепей постоянного (переменного) тока
Под расчетом цепи, в общем случае, понимают нахождение токов во всех ветвях схемы.
Основные методы расчета:
1. Метод токов ветвей.
2.Метод контурных токов.
3. Метод узловых напряжений.
4. Метод наложения.
5. Метод эквивалентных преобразований
Метод токов ветвей
• В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить в уравнений, где в- число ветвей схемы (без источников тока).
• Последовательность расчета следующая:
1. Проводят топологический анализ схемы.
1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …,Iв), произвольно выбирают их положительное направление и обозначают на схеме стрелками;
1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме;
1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой.
2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)
где xi =Ii– искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.
3. Решая систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера находят токи во всех ветвях схемы:
где D – главный определитель системы; Di – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов вi.
Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным направлениям. I1
Пример 1. Для электрической цепи рис. 1.1 n = 2, m = 3, и расчет токов цепи осуществляется путем решения следующей системы уравнений
2.5.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Пример . Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.
Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.
Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической
цепи с несколькими источниками энергии:
I, II, III – номера контуров
1. Проводим топологический анализ.
Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).
2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа
Для узла "а" - I1 - I2 + I4 = 0.
Для узла "б" - I1 + I2 - I3 - I5 = 0.
Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.
Для контура I - R1·I1 - R2·I2 = - E1 + E2.
Для контура II - R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 = - E2 - E3.
Для контура III - - R3·I3 + R5·I5 = E3.
Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.
При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде
- I1 - I2 + 0 + I4 + 0 = 0
I1 + I2 - I3 + 0 - I5 = 0
R1·I1 - R2·I2 + 0 + 0 + 0 = - E1 + E2
0 + R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 + 0 = - E2 - E3
0 + 0 + - R3·I3 + 0 + R5·I5 = E3.
В матричной форме
или [R]·[I] = [Е],
где [R] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;
[I] – матрица - столбец неизвестных токов;
[E] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.
Решение матричного уравнения ищут в виде
[I] = [R]-1·[E],
где [R]-1 – матрица, обратная матрице [R].
Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.
Метод контурных токов
Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.
Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).
Рис. 4.29 |
E |
I |
ZiI |
ZiII |
а) E = IZiI;
б) ZiII = ZiI.
1) Топологический анализ схемы.
а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей b.
б) Определяют число узлов у.
в) Подсчитывают число независимых контуров Nk = b – y + 1.
Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.
Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: Ik1; Ik2; IkNk.
За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.
2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений Nk = Nk порядка:
где Iki – контурный ток i-го контура;
Zii – собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;
Zji – сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;
Eki – контурная ЭДС i-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС Eki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.
3) По правилу Крамера находят контурные токи Iki= .
4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. В алгебраической сумме контурные токи берутся со знаком «+» , если ток ветви и совпадает с контурным током и «–» если не совпадает.
Если токи ветви оказались положительными, то выбранное направление тока совпадает с истинным и наоборот.
Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.
1. Проводим топологический анализ
а) b = 6; б) y = 4; в) Nk = 6 – 4 + 1=3.
2) Составим систему уравнений по методу МКТ
Рис. 4.30 |
I |
Z1 |
II |
III |
I1 |
E1 |
I5 |
I2 |
I3 |
I4 |
Z3 |
Z6 |
Z5 |
Z4 |
Z2 |
Ik2 |
Ik3 |
Ik1 |
E11= E1; E22 = 0; E33 = 0.
3) По методу Крамера находим контурные токи Iki = .
4) Находим токи в ветвях: I1 = Ik1; I2 =
= Ik1 – Ik2; I3 = Ik1 – Ik3; I4 = –Ik2 + Ik3; I5 = Ik2; I6 = Ik3.
Пример 2. Рассмотрим электрической цепи постоянного тока, рис. 2.21.
1. Проводим топологический анализ
а) b = 5; б) y = 3; в) Nk = 5 – 3 + 1=3.
2) Для каждого контура записывают уравнение второго закона Кирхгофа,
Рис. 2.21. – Расчетная схема для метода контурных токов
В каждом из трех контуров протекает свой контурный ток J1, J2, J3. Произвольно выбираем направление этих токов, например, по часовой стрелке. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура с учетом соседних контурных токов, протекающих по смежным ветвям
(R1 + R2)·J1 - R2·J2 = E2 - E1
- R2·J1 + (R2 + R3 + R4)·J2 - R3·J3 = - E2 - E3
- R3·J2 + (R3 + R5)·J3 = E3.
Решив систему уравнений, находят контурные токи J1, J2, J3. Затем определяют реальные токи в ветвях, причем токи во внешних ветвях равны контурным, а в смежных – алгебраической сумме 2-х контурных токов, протекающих в данной ветви
I1 = J1; I2 = J2 - J1; I3 = J2 - J3; I4 = J2; I5 = J3.
Исходная система уравнений в матричной форме
или
[R]·[J] = [E],
где [R] – квадратная матрица коэффициентов контурных токов;
[J] – матрица – столбец контурных токов; [E] – матрица – столбец ЭДС.
Решением матричного уравнения является матрица
[J] = [R]-1 ·[E],
где [R]-1 – матрица, обратная матрице [R]
• Пример 3. Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.1, получим следующие уравнения:
получим следующие уравнения:
По методу Крамера найдем контурные токи:
Действительные токи в ветвях: I1 = Ik1; I2 = Ik2 – Ik1; I3 = Ik2.
Пример 4. Расчет цепи методом контурных токов на рис. 2.22.
Рис. 2.22. – Расчет цепи методом контурных токов
Для схемы замещения электрической цепи, показанной на рис. 2.22, задано: E1 = 30 B; E2 = 10 В; R1 = 8 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 36 Ом. Требуется определить токи в ветвях методом контурных токов. Составить баланс мощности.
Схема содержит три ветви (m = 3), два узла (n = 2). Выбираем положительные направления токов в ветвях произвольно. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно m - (n - 1) = 2. Задаем направление контурных токов (например, по часовой стрелке) и составляем систему уравнений
(R1 + R2)·J1 - R2·J2 = E1 - E2
- R2·J1 + (R2 + R3)·J2 = E2.
Подставляя численные значения сопротивлений резисторов и ЭДС в приведённые уравнения, находим контурные токи J1, J2 (Например, методом определителей)
20 = 23·J1 – 15·J2
10 = - 15·J1 + 51·J2
Токи в ветвях
I1 = J1 = 1,23 А; I2 = - J2 + J1 = 1,23 - 0,56 = 0,67 А; I3 = J2 = 0,56 А.
Составляем баланс мощностей.
Мощность генераторов (источников)
РИ = Е1·I1 - Е2·I2 = 30·1,23 – 10·0,67 = 30,2 Вт,
где произведение Е2·I2 имеет знак минус (ток через источник не совпадает с ЭДС, значит источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии).
Мощность, потребляемая нагрузкой, составляет
РН = R1·I12 + R2·I22 + R3·I32 = 8·1,232 + 15·0,562 + 36·0,562 = 30,13 Вт.
Погрешность
составляет менее 1%, т. е. токи найдены верно.
Метод узловых потенциалов (МУП)
Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.
Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31).
а) I = E/ZiI;
Рис. 4.31 |
E |
I |
ZiI |
ZiII |
б) ZiII = ZiI.
1) Топологический анализ.
а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов Ny = y – 1.
б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где – потенциал нулевого узла.
2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:
,
где Yii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-м узле, все они берутся со знаком «+»;
Yij – межузловая проводимость между i-м и j-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;
Iii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».
3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера
.
4) Токи в ветвях находят по закону Ома
I = (j1 – j2)/Z.
Пример. Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.
Z2 |
I2 |
Z4 |
Z3 |
Z1 |
I1 |
I3 |
I |
I |
I4 |
I2 |
I1 |
E2 |
E1 |
Z4 |
Z3 |
Z2 |
Z1 |
Рис. 4.32 Рис. 4.33
Проведем топологический анализ.
а) число ветвей b = 4;
б) число независимых узлов Nу = 2, их потенциалы: φ1 и φ2 (рис. 4.33).
Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:
;
.
По методу Крамера найдем потенциалы узлов .
По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:
.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ по теме цепи переменного тока