Логарифмические частотные характеристики

В инженерной практике часто пользуются логарифмическими эквивалентами АЧХ и ФЧХ: логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ)

(1.12)

и логарифмической фазово-частотной характеристикой (ЛФЧХ)

. (1.13)

По оси абсцисс значения w (или f – Гц) откладываются в логарифмическом масштабе. Основные деления сетки частоты отличаются на декаду (в 10 раз). При этом обычно пересечение осью ординат оси абсцисс выбирают в значении 1 рад/с (1Гц).

В отличие от АЧХ, имеющей линейный масштаб изменения коэффициента передачи, изменение ординаты ЛАЧХ линейно по отношению к приращению функции в дБ.

По оси ординат графиков ФЧХ и ЛФЧХ фаза откладывается в градусах либо в радианах. Масштаб линейный. Отличие их в масштабе по оси абсцисс. В первом случае он линейный, во втором – логарифмический. Таким образом, и ЛЧХ, и ЛФЧХ – полулогарифмические характеристики.

На рисунке 1.2 (графики 1) приведены графики ЛАЧХ и ЛФЧХ для ЧПФ при k₀ = 100 (40 дБ), Т₁ = 0,1 с, Т₂ = 0,01 с

Экспериментально ЛАЧХ и ЛФЧХ исследуются в установившемся режиме. При этом на вход звена или системы подают гармоническое воздействие с постоянной амплитудой x(t)=X₀sin(w t), частота w изменяется либо дискретно, либо непрерывно, например, по линейному закону. В последнем случае изменения частоты должны быть медленнее наибольшей постоянной времени РАС.

Рис. 1.2

Если необходимый диапазон частот гармонического воздействия заранее неизвестен, его стараются выбирать не уже интервала, в пределах которого L(w)превышает уровень– 40дБ. Интервал частот выбран правильно, если за его пределами фаза коэффициента передачи изменяется не более чем на 6°. Логарифмические частотные характеристики – очень удобный и наглядный инструмент анализа и синтеза линеаризованных систем.

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ.В инженерной практике применяют приближенные эквиваленты ЛАЧХ и ЛФЧХ – асимптотические логарифмические частотные характеристики.

Для построения асимптотической ЛАЧХ динамического звена прежде всего следует выяснить тип звена, определить пределы изменения частоты, коэффициент передачи на постоянном токе и частоты сопряжения.

Пределы изменения частоты w достаточно ограничить интервалом

f_min/30 = 1/30Т_max ... 30 f_max = 30/T_min , (1.14)

где Т_min и Т_max – соответственно, наибольшее и наименьшее значения постоянных времени звена.

Частоты сопряжения находят через постоянные времени звена (w_j = 1/Т_j). ЧПФ необходимо свести к виду (1.15), для этого числитель и знаменатель представляют в виде произведения множителей вида (1 + iwТ_j).

Если такой множитель будет в знаменателе, его асимптотическая ЛАЧХ до частоты сопряжения w_j имеет постоянную асимптоту ЛАЧХ 0 дБ, после w_j асимптота линейно убывает со скоростью – 20 дБ/дек (дБ на декаду или – 6 дБ на октаву); а ЛФЧХ до частоты сопряжения w_j будет примерно равна 0°, после
w_j – примерно – 90°, на частоте w_j = – 45°.

Если множитель (1 + iwТ_j) окажется в числителе, его асимптотическая ЛАЧХ до частоты сопряжения w_j будет постоянной на уровне 0 дБ. После w_j асимптота линейно будет возрастать со скоростью + 20 дБ/дек, а ЛФЧХ до частоты сопряжения w_j будет примерно равна 0°, после w_j – примерно + 90°, на частоте w_j = + 45°.

На рисунке 1.2 (графики 2) построены асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ. Для их построения необходимо найти частоты сопряжения w₁ = 1/Т₁ = 10 рад/с,
w₂ = 1/Т₂ = 100 рад/с.

Звено в числителе (форсирующее – классификацию звеньев см. в п. 2.4, а также прил. 2) до частоты w₂ имеет постоянную асимптоту ЛАЧХ 0 дБ, а после нее асимптота линейно возрастает со скоростью + 20 дБ/дек.

Звенья в знаменателе: первое (идеальный интегратор) дает асимптоту ЛАЧХ, которая начинается на уровне + 40 дБ (k₀) при w = 1 и убывает со скоростью – 20 дБ/дек; второе (апериодическое) до частоты w₁ имеет постоянную асимптоту ЛАЧХ 0 дБ, а после нее асимптота линейно убывает со скоростью –20 дБ/дек.

После суммирования асимптотических ЛАЧХ звеньев получим итоговую асимптотическую ЛАЧХ (рис. 1.2 график 2).

Максимальная погрешность асимптотической ЛАЧХ получается на частотах сопряжения и не превышает 3 дБ.

Для минимально фазовых цепей достаточна грубая оценка ЛФЧХ. Итоговая асимптотическая ЛФЧХ (рис. 1.2 график 2) получается суммированием ЛФЧХ звеньев: интегрирующее звено имеет постоянный фазовый сдвиг – 90°, фаза звена первого порядка изменяется с ростом w от 0 до – 90° (апериодическое) или от 0 до + 90° (форсирующее), проходя на частотах сопряжения через значение ± 45°.

Динамическое звено – элемент системы, обладающий свойствами однонаправленности и независимости. Число динамических звеньев структурной схемы определяется удобством математического описания РАС.

На практике ПФ РАС представляет собой произведение передаточных функций динамических звеньев, порядок полинома ПФ которых не выше второго.

K(p)= , (1.15)

где Т – постоянная времени звена, с; z – коэффициент демпфирования (обратная величина добротности) системы; v – количество интеграторов (показатель астатизма системы). В числителе (1.15) собираются множители с опережением по фазе, в знаменателе (1.15) – с отставанием по фазе.

Динамические звенья разделяют на интегрирующие, дифференцирующие и позиционные звенья. Характеристики элементарных звеньев (схема, ПФ, ПХ, ИХ) приведены в приложении 2.

К позиционным звеньям относятся

· звенья пропорционального регулирования (ПФ );

· апериодические (ПФ , w < w_с1);

· колебательные (ПФ );

· безынерционные (ПФ K(p) = k₀).

К интегрирующим звеньям относятся

· идеальные интеграторы (ПФ );

· инерционные интеграторы (ПФ );

· замедляющие (апериодические) (ПФ , w > w_с1) и

· изодромные (ПФ ) звенья.

К дифференцирующим звеньям относятся

· идеально дифференцирующие (K(p) = k₀p);

· дифференцирующие с замедлением (ПФ ) и

· форсирующие звенья (ПФ K(p) = k₀(1+Tp)) .

Для звена с чистым запаздыванием на время t: K(p) = e^–pτ « f(t–τ) .

Задание № 1. Исследование простейших
динамических звеньев

Исходные данные задания для различных вариантов приведены в табли- це 1.2, а соответствующие схемы – в таблице 1.3.

1. Для заданной схемы и номиналов ее элементов получить ПФ [1].

2. Найти аналитические выражения и построить графики АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ (в том числе асимптотических).

3. Построить годограф цепи.

4. Получить аналитические выражения и построить графики ИХ и ПХ.

5. Указать требования к испытательным сигналам для экспериментального исследования АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ.

При получении ПФ цепей 9 – 15 (табл. 1.3) следует учесть, что эти цепи можно свести к обобщенному виду, показанному на рисунке 1.3, в этом случае ПФ можно определить так: . (1.16)

6. Дать оценку возможному применению динамического звена.

Таблица 1.2

Вариант
№ схемы
R1, кОм	0,051	0,068				3,3	0,1	5,1		0,2
C1, мкФ	–		0,1	0,5	0,033	0,1	–	0,33	0,5	–
R2, кОм	5,1		–			8,2	–			–
C2, мкФ	–	–		–		2,2	–	3,3	–	–
L1, мГн			–	–	–	–		–	–
L2, мГн	–	–	–	–	–	–		–	–

Вариант
№ схемы
R1, кОм		3,3		5,1	6,8	4,7	0,1	5,1	7,5
C1, мкФ		0,5			0,5	0,25	–	0,05	0,33
R2, кОм				8,2			7,5			3,3
C2, мкФ	–	–	–	–		–	–	–	0,1	–
L1, мГн	–	–	–	–	–	–		–	–	–
R3, кОм	–		–		–	–	–		–

Вариант
№ схемы
R1, кОм		7,5				8,2	3,3	0,15		3,3
C1, мкФ	0,01	0,25	0,1	0,1		0,5			0,33	0,2
R2, кОм							8,2
C2, мкФ	0,5		–	0,5	–	–	–	–	–	–
L1, мГн	–	–	–	–	–	–	–		–	–

Вариант
№ схемы
R1, кОм		7,5	0,22	0,1
C1, мкФ	0,5		–	3,3	0,1	0,33	0,5			0,2
R2, кОм	–			5,1	–		3,3
C2, мкФ	2,2	–	–	–	0,5	–			–
L1, мГн	–	–			–	–	–	–	–	–

Вариант
№ схемы
R1, кОм		3,3		5,1	6,8	4,7	0,1	5,1	7,5
C1, мкФ		0,5			0,5	0,25	–	0,05	0,33
R2, кОм				8,2			7,5			3,3
C2, мкФ	–	–	–	–		–	–	–	0,1	–
L1, мГн	–	–	–	–	–	–		–	–	–
R3, кОм	–		–		–	–	–		–

Таблица 1.3

Вари-ант	Схема	Вари-ант	Схема

Окончание табл. 1.3

Вари-ант	Схема	Вари-ант	Схема