Координатные плоскости Oxa и Oax

Функционально-графические методы

Встречающиеся задачи на исследование уравнения или неравенства с параметром аможно записать в виде , где символ заменяет один из знаков =, > , < , , . Так как основу уравнений и неравенств составляют выражения f(x,а)и g(x,a), то в зависимости от того, какая роль отводится параметру в задаче (параметр – фиксированное число, или параметр – переменная), запись f(x,a) рассматривается либо как семейство функций с переменной x , либо как выражение с двумя переменными xи а. В соответствии с этим используется два основных графических приема решения подобных задач: первый – построение графического образа задачи на координатной плоскости Oxy, второй – на координатных плоскостях Oxaили Oax.

§1 Координатная плоскость Oxy

задачи вида

При решении задач данного вида на координатной плоскости Oxy изображают график функции f(x)= y.Тогда при заданном значении параметра aмножество решений уравнения f(x)= aявляется проекцией на ось абсцисс точек пересечения горизонтальной прямой y=a с графиком функции f(x),амножество решений неравенства является проекцией на ось абсцисс всех точек прямой y=a, ординаты которых удовлетворяют неравенству .

Возможны ситуации:

1. Прямая не пересекает график . Следовательно, при данном значении а исходное уравнение решений не имеет.

2. Прямая пересекает график в одной или нескольких точках. Следовательно, при данном значении а можно сделать вывод о числе решений исходного уравнения, найти абсциссы точек пересечения и т.д.

Пример 1: Определите количество

различных корней уравнения

в зависимости от параметра а.

Решение:

Рассмотрим взаимное расположение графика функии и прямой на координатной плоскости Оху. Из рисунка 1 видно, что при А < 0 графики не имеют общих точек; если 0<A<1, то графики имеют четыре точки пересечения; две общие точки получаем при условии А= 0 или А>1.

На рисунке 1 представлен случай, когда графики имеют ровно три общих точки. Данное уравнение имеет три различных корня, если выполняется условие . Отсюда а = 0,5 или а = 1. Аналогично находим а для других случаев.

Пример 2: Найти число решений уравнения .

Решение

Заметим, что х не равно нулю. Умножим обе части уравнения на . Получим

Построим график функции .

Графиком функции является прямая, параллельная оси ОХ.

Анализируя графическую иллюстрацию, понятно, что при а=0 одно решение, т.к. одна точка пересечения (не забываем, что х не равен нулю). При а=1 две точки пересечения графика функции и прямой, а значит и два решения. При а<0 получается одна точка пересечения, как и при а>1. Если же , то график функции и прямая имеют три точки пересечения.

Ответ:при , одно решение,

Координатные плоскости Oxa и Oax

Данный метод представляет собой некоторое обобщение графического метода решения уравнений и неравенств, основанного на использовании координатной плоскости Oxa или Oax . В последнем случае ось Ox называют координатной, ось Oa – параметрической, а плоскости Oxa и Oax – координатно-параметрическими (или КП – плоскостями).

Пример 3: При каких значениях параметра а имеет ровно два различных корня уравнения.

Решение

Корни данного уравнения должны удовлетворять условию (условия существования квадратного коря из выражения ). Заметим, что . Тогда

Следовательно, корнями уравнения могут быть числа , и . По условию задачи требуется найти значение параметра а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня. Для отбора искомых значений параметра на плоскости Oax построим графики функций , и (см. рис.2). Каждая прямая при a = const параллельна оси Ox и пересекает каждый из построенных графиков, и ордината точки пересечения дает значения корня исходного уравнения при условии, что . Точки (a, x),координаты которых удовлетворяют последнему неравенству, расположены на плоскости Oax в выделенной фоном области.

Имеется пять критических положений этих прямых:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

В этих случаях они проходят через точки пересечения графиков. Точки – 2, - 1, - 0,5, 0 и 1 разбивают числовую прямую Oa на шесть промежутков. Рассмотрим каждый из них:

(1) и (2) . На этих промежутках уравнение имеет три корня.

. Уравнение имеет два корня ( график функции расположен ниже графика функии ).

(4) . Уравнение имеет один корень, так как графики функций и – ниже графика функции .

(5) .Уравнение имеет два корня ( график функции - ниже графика функции ).

(9) . Уравнение имеет три корня.

Соответственно при каждом из значений , или уравнение имеет два корня.

Ответ: .

Пример 4: Определить значение параметра a, при которых уравнение будет иметь наибольшее число корней.

Решение

Приведем уравнение к следующему виду . (*)

Рассмотрим два случая.

1) Если , то уравнение будет иметь вид . Отсюда и . Для того, чтобы найденные значения являлись решениями уравнения (*), должны выполняться условия:

Если , то ;

Если , то .

2) Если , то уравнение будет иметь вид .

На рис.3 представлены графики функций , стоящей в правой части последнего уравнения, и графики функций ,стоящей в левой его части а. Так как должно выполняться условие , то для существования корней должно быть и , т.е

. Это возможно только при (см.рис.3)

Причем решение при этих значениях aбудет одно. При получается ; при получим ; при решением будет некоторое .

Сравнивая полученные решения в первом и втором случаях, имеем: при уравнение не имеет решений; при уравнение имеет одно решение; при уравнение имеет два решения.

Ответ: При уравнение имеет два корня.

Пример 5: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно восемь различных решений.

Решение:

1 способ. ,

Построим графики функций при и . Графиком первой функции является семейство парабол с вершинами, расположенных на оси ОУ: у=0,

и т.д. (в зависимости от k=0,1,2,3,4,…). Графиком второй функции является прямая, параллельная оси ОХ.

По графику определяем, что

ровно восемь решений (точек пересечения) возможно в том случае, если прямая расположена выше прямой но ниже прямой . Следовательно, ,

.

При ,

при .

Ответ: ,

Решение: 2 способ. , Заметим, что параметр а может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но не равен нулю.

Построим график функции при у>0 , т.е. или (полуокружность с центром в начале координат) . Графиком второй функции при является семейство прямых, параллельных оси ОХ, проходящих через точки с ординатами у=0, , , , и т.д.

Рассмотрим полуокружность радиуса r=a. Если радиус , то полуокружность пересекает серию прямых ровно в восьми точках. Аналогично рассуждаем для случая а<0.

Ответ: ,

Пример 6: Найдите все значения параметра a, при котором уравнение имеет три различных корня.

Решение:

График функции при a≠0 изображен на рисунке. Сразу заметим, что при а=0 уравнение имеет один корень.
Из семейства параллельных прямых y=x-a нас интересуют только те, которые пересекают наш график в трёх точках..

Графики функций и пересекутся в трех точках тогда и только тогда, когда прямая

пройдет через точку А или точку С. Во всех остальных случаях количество точек пересечения графиков функций будет или больше, или меньше трех. Определим значения параметра а в первом и во втором случае.

Если прямая проходит через точку А, то из уравнения получаем а=-2. Аналогично с точкой С, получаем a=-0.5

Упражнения

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных решении.

2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно три различных решения.

Для каждого полученного значения, а найдите все эти решения.

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых график функции пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых график функции пересекает ось абсцисс менее чем в трёх различных точках.

5. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение

6. Выясните, при каких значениях параметра а уравнение ;

а) имеет единственный корень, и найдите его;

б) имеет ровно два корня, и найдите их;

в) имеет бесконечное множество корней.

7. Найдите все значения а, при каждом из которых имеет ровно один корень уравнение

8.Сколько решений в зависимости от значений параметра а имеет уравнение

9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных корня.

10. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три различных корня.

11. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных корня.

12. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных корня. Укажите эти корни.

13. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три корня.

Ответы

1. -2; -0,5

2. При а=6 , х1= -2, х2 = 0,5, х3 =8; при а=10, х1= -2,5, х2=0, х3=10

3. (-3,5; 1)

4.

5. При а (0,5; 1] - решений нет; при а (-∞; -1] {0.5} (1; ∞) – одно; при а (-1; 0,5) – два: б) при а [-1;- 0,5) – решений нет; при а (-∞; -1) {0.5} [1; ∞) – одно; при а (-0,5; 1) - два

6. а) | а | > 1, х=1; б) | а | <1, х1= 1, х2= а-5/ а+1; в) а=1 и а=-1

7. а) -4, -8; б) -4, -8

8. если а<0, то решений нет; если а=0 или а >4, то – два; если а=4, то – три; если 0< а<4, то - четыре

9. -1

10. -4, -2

11. 0, 1

12. ; х=1, х=а+3

13. 5