Решение транспортной задачи методом потенциалов

Найденное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если опорное решение транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система m + n действительных чисел ui и vj, удовлетворяющих условиям ui + vj = cij для занятых клеток и ui + vj – cij £ 0 для свободных клеток.

Числа ui и vj называют потенциалами. В распределительную таблицу добавляют строку vj и столбец ui.

Потенциалы ui и vj находят из равенства ui + vj = cij, справедливого для занятых клеток. Одному из потенциалов дается произвольное значение, например, u1 = 0, тогда остальные потенциалы определяются однозначно. Так, если известен потенциал ui, то vj = cij - ui, если известен потенциал vj, то ui, = cij - vj.

Обозначим Dij = ui + vj - cij , которую называют оценкой свободных клеток. Если все оценки свободных клеток Dij£ 0, то опорное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из оценок Dij ≥ 0, то опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить, перейдя от одного опорного решения к другому.

Проверим найденное опорное решение на оптимальность, добавив в распределительную таблицу столбец ui и строку vj.

bj ai ui
- -
- –2
-
  vj  

Полагаем u1 = 0, запишем это значение в последнем столбце первой строки таблицы.

Рассмотрим занятую клетку первой строки, которая расположена в первом столбце (1, 1), для нее выполняется условие u1 + v1 = 2. Откуда при u1 = 0, v1 = 2, это значение запишем в последней строке таблицы. Далее рассматривают ту из занятых клеток таблицы, для которых один из потенциалов известен.

Рассмотрим занятую клетку (3, 1): u3 + v1 = 3, v1 = 2, откуда u3 =1.

Для клетки (3, 3): u3 + v3 = 8, u3 = 1, v3 =7.

Для клетки (2, 3): u2 + v3 = 5, v3 = 7, u2 = –2.

Для клетки (2, 2): u2 + v2 = 1, u2 = –2, v2 = 3.

Найденные значения потенциалов заносим в таблицу.

Вычисляем оценки свободных клеток:

D12 = u1 + v2 - c12 = 0 + 3 – 5 = –2 < 0,

D13 = u1 + v3 - c13 = 0 + 7 – 2 = 5 > 0,

D21 = u2 + v1 - c21 = -2 + 2 – 4 = – 4 < 0,

D32 = u3 + v2 - c32 = 1 + 3 – 6 = –2 < 0.

Получили одну оценку D13 = 5 > 0, следовательно, исходное опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

Наличие положительной оценки свободной клетки (Dij ≥ 0) при проверке опорного решения на оптимальность свидетельствует о том, что полученное решение не оптимально, и для уменьшения значения целевой функции надо перейти к другому опорному решению. При этом надо перераспределять грузы, перемещая их из занятых клеток в свободные. Свободная клетка становится занятой, а одна из ранее занятых – свободной.

Для свободной клетки, у которой Dij ≥ 0, строится цикл (цепь, многоугольник), все вершины которого, кроме одной, находятся в занятых клетках, углы прямые, число вершин четное. Около свободной клетки цикла ставится знак (+), затем поочередно проставляют знаки (–) и (+). У вершин со знаком (–) выбирают минимальный груз, его прибавляют к грузам, стоящим у вершин со знаком (+), и отнимают от грузов у вершин со знаком (–). В результате перераспределения груза получим новое опорное решение. Это решение проверяем на оптимальность, и т.д. до тех пор, пока не получим оптимальное решение.

Рассмотрим переход от одного опорного решения к другому на заданном примере.

Строим цикл для клетки (1, 3), имеющей положительную оценку D13 = 5 > 0. У вершин цикла ставим знаки (+) и (–) и записываем грузы.

Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru

У вершин со знаком (-) выбираем минимальный груз, он равен 60. Его прибавляем к грузам, стоящим у положительных вершин, и отнимаем от грузов, стоящих у отрицательных вершин. Получаем новый цикл:

Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru

Новое опорное решение:

Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru .

Проверим полученное решение на оптимальность. Для этого запишем полученное решение в распределительную таблицу, найдем потенциалы занятых и оценки свободных клеток.

bj ai ui
-
-
- -
  vj -2  

D12 = – 7, D21 = 1 > 0, D32 = – 7, D33 = – 5.

Построим цикл для клетки с положительной оценкой D12 = 1:

Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru

Произведем перераспределение грузов:

Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru

Получаем новое решение, которое заносим в таблицу. Проверим его на оптимальность.

bj ai ui
- -
- -
  vj -2  

D11 = – 1, D12 = – 7, D32 = – 6, D33 = – 4.

Все оценки свободных клеток отрицательные, следовательно, найденное решение оптимальное.

Ответ: Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru .

Стоимость транспортных расходов:

L(X)min = 90×2 + 30×4 + 300×1 + 70×5 + 110×3 = 1280 ден. ед.

По сравнению с исходным опорным решением транспортные расходы уменьшились на 1610 – 1280 = 330 ден. ед.

Замечание. Если при проверке оптимальности решения положительные оценки имеют несколько клеток, то цикл перераспределения поставок строят, начиная с клетки (i, j) с максимальным значением оценки:

Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru .

Форма цикла может быть разной, например:

Решение транспортной задачи методом потенциалов - student2.ru

Но для клетки с положительной оценкой он является единственным.

Наши рекомендации