Решение транспортной задачи методом потенциалов

Найденное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если опорное решение транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система m + n действительных чисел u_i и v_j, удовлетворяющих условиям u_i + v_j = c_ij для занятых клеток и u_i + v_j – c_ij £ 0 для свободных клеток.

Числа u_i и v_j называют потенциалами. В распределительную таблицу добавляют строку v_j и столбец u_i.

Потенциалы u_i и v_j находят из равенства u_i + v_j = c_ij, справедливого для занятых клеток. Одному из потенциалов дается произвольное значение, например, u₁ = 0, тогда остальные потенциалы определяются однозначно. Так, если известен потенциал u_i, то v_j = c_ij - u_i, если известен потенциал v_j, то u_i, = c_ij - v_j.

Обозначим D_ij = u_i + v_j - c_ij , которую называют оценкой свободных клеток. Если все оценки свободных клеток D_ij£ 0, то опорное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из оценок D_ij ≥ 0, то опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить, перейдя от одного опорного решения к другому.

Проверим найденное опорное решение на оптимальность, добавив в распределительную таблицу столбец u_i и строку v_j.

bj ai				ui
			-	-
		-			–2
			-
	vj

Полагаем u₁ = 0, запишем это значение в последнем столбце первой строки таблицы.

Рассмотрим занятую клетку первой строки, которая расположена в первом столбце (1, 1), для нее выполняется условие u₁ + v₁ = 2. Откуда при u₁ = 0, v₁ = 2, это значение запишем в последней строке таблицы. Далее рассматривают ту из занятых клеток таблицы, для которых один из потенциалов известен.

Рассмотрим занятую клетку (3, 1): u₃ + v₁ = 3, v₁ = 2, откуда u₃ =1.

Для клетки (3, 3): u₃ + v₃ = 8, u₃ = 1, v₃ =7.

Для клетки (2, 3): u₂ + v₃ = 5, v₃ = 7, u₂ = –2.

Для клетки (2, 2): u₂ + v₂ = 1, u₂ = –2, v₂ = 3.

Найденные значения потенциалов заносим в таблицу.

Вычисляем оценки свободных клеток:

D₁₂ = u₁ + v₂ - c₁₂ = 0 + 3 – 5 = –2 < 0,

D₁₃ = u₁ + v₃ - c₁₃ = 0 + 7 – 2 = 5 > 0,

D₂₁ = u₂ + v₁ - c₂₁ = -2 + 2 – 4 = – 4 < 0,

D₃₂ = u₃ + v₂ - c₃₂ = 1 + 3 – 6 = –2 < 0.

Получили одну оценку D₁₃ = 5 > 0, следовательно, исходное опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

Наличие положительной оценки свободной клетки (D_ij ≥ 0) при проверке опорного решения на оптимальность свидетельствует о том, что полученное решение не оптимально, и для уменьшения значения целевой функции надо перейти к другому опорному решению. При этом надо перераспределять грузы, перемещая их из занятых клеток в свободные. Свободная клетка становится занятой, а одна из ранее занятых – свободной.

Для свободной клетки, у которой D_ij ≥ 0, строится цикл (цепь, многоугольник), все вершины которого, кроме одной, находятся в занятых клетках, углы прямые, число вершин четное. Около свободной клетки цикла ставится знак (+), затем поочередно проставляют знаки (–) и (+). У вершин со знаком (–) выбирают минимальный груз, его прибавляют к грузам, стоящим у вершин со знаком (+), и отнимают от грузов у вершин со знаком (–). В результате перераспределения груза получим новое опорное решение. Это решение проверяем на оптимальность, и т.д. до тех пор, пока не получим оптимальное решение.

Рассмотрим переход от одного опорного решения к другому на заданном примере.

Строим цикл для клетки (1, 3), имеющей положительную оценку D₁₃ = 5 > 0. У вершин цикла ставим знаки (+) и (–) и записываем грузы.

У вершин со знаком (-) выбираем минимальный груз, он равен 60. Его прибавляем к грузам, стоящим у положительных вершин, и отнимаем от грузов, стоящих у отрицательных вершин. Получаем новый цикл:

Новое опорное решение:

.

Проверим полученное решение на оптимальность. Для этого запишем полученное решение в распределительную таблицу, найдем потенциалы занятых и оценки свободных клеток.

bj ai				ui
			-
		-
			-	-
	vj		-2

D₁₂ = – 7, D₂₁ = 1 > 0, D₃₂ = – 7, D₃₃ = – 5.

Построим цикл для клетки с положительной оценкой D₁₂ = 1:

Произведем перераспределение грузов:

Получаем новое решение, которое заносим в таблицу. Проверим его на оптимальность.

bj ai				ui
		-	-
			-	-
	vj		-2

D₁₁ = – 1, D₁₂ = – 7, D₃₂ = – 6, D₃₃ = – 4.

Все оценки свободных клеток отрицательные, следовательно, найденное решение оптимальное.

Ответ: .

Стоимость транспортных расходов:

L(X)_min = 90×2 + 30×4 + 300×1 + 70×5 + 110×3 = 1280 ден. ед.

По сравнению с исходным опорным решением транспортные расходы уменьшились на 1610 – 1280 = 330 ден. ед.

Замечание. Если при проверке оптимальности решения положительные оценки имеют несколько клеток, то цикл перераспределения поставок строят, начиная с клетки (i, j) с максимальным значением оценки:

.

Форма цикла может быть разной, например:

Но для клетки с положительной оценкой он является единственным.