Теорема. Коли площини (1) не паралельні, то вибором параметра l в рівнянні (2) можна утворити будь-яку площину, що проходить через пряму (1), окрім другої площини.

Складемо рівняння площини, яка проходить через пряму і точку М₁(1, 1, 1).

· Знаходимо загальні рівняння прямої

або

Утворимо пучок площин

і визначимо ту з них, якій належить точка М₁(1, 1, 1). Маємо

Остаточно запишемо рівняння шуканої площини:

Знайти проекцію прямої, заданої рівняннями на площину .

· Утворимо пучок площин

і візьмемо в ньому таку площину, яка ортогональна до площини проектування:

Остаточно записуємо загальне рівняння проекції:

3.5.8. Пряма і площина у просторі

Дано площину

а також пряму з канонічним рівнянням

Знайдемо кут j між цією прямою і заданою площиною. Обчислимо насамперед кут між вектором нормалі n і напрямленим вектором прямої s (рис. 3.51).

Рис. 3.51

Згідно зі співвідношенням

маємо:

(1)

Умова паралельності площини та прямої:

, . (2)

Умова перпендикулярності прямої і площини:

. (3)

Щоб знайти точку перетину прямої і площини, скористаємося параметричними рівняннями прямої (3) із підрозд. 3.5.6. Підставляючи х, у, z у рівняння площини, дістаємо рівняння для t:

. (4)

1. Якщо , тобто пряма не паралельна площині, то пряма і площина перетинаються в одній точці.

2. Якщо , то пряма паралельна площині. Якщо , тобто точка М₀(х₀, у₀, z₀) на прямій не лежить на площині, то рівняння (4) не має розв’язків. При цьому пряма проходить на деякій ненульовій відстані від площини.

3. Якщо , то рівняння (4) виконується при всіх значеннях t. Усі точки на прямій належать площині.

Знайти проекцію точки М₀(1, 2, 3) на площину .

· Для розв’язування задачі достатньо з точки М₀ опустити на площину перпендикуляр і знайти точку його перетину з площиною (рис. 3.52).

Рис. 3.52

Напрямний вектор прямої s колінеарний до вектора n нормалі до площини. Маємо . Отже, рівняння перпендикуляра:

Підставивши вирази

у рівняння площини, дістанемо t

З параметричних рівнянь прямої знаходимо координати точки проекції М₁(х₁, у₁, z₁)

3.5.9. Відстань від точки до прямої

1. Щоб знайти відстань d від точки М₀(х₀, у₀, z₀) до прямої

яка проходить через точку М₁(х₁, у₁, z₁), можна через точку М₀ провести площину, перпендикулярну до прямої, знайти точку М₂(х₂, у₂, z₂) перетину прямої та площини і обчислити відстань d між точками М₀, М₂ (рис. 3.53).

Рис. 3.53

Знайдемо відстань від точки М₀(1, 2, – 1) до прямої

· Проведемо через точку М₀ площину, перпендикулярну до прямої

Складемо параметричне рівняння прямої

і знайдемо точку перетину прямої та площини:

Отже,

2. Другий спосіб визначення відстані від точки до прямої полягає в застосуванні апарату векторного виразу. Побудуємо паралелограм на векторах (рис. 3.54).

Рис. 3.54

Площу S цього паралелограма можна знайти за формулою

Звідси маємо:

(1)

Обчислимо відстань від точки М₀(1, 2, – 1) до прямої .

· За формулою (1) дістаємо:

3. Відстань від точки до прямої є найкоротшою серед відстаней між цією точкою і точками прямої. Скористаємося канонічним рівнянням прямої

Знайдемо квадрат відстані між точкою М(х, у, z) і точкою М₀(х₀, у₀, z₀):

Необхідна умова мінімуму d¢(t) = 0 набирає вигляду

Звідси маємо екстремальне значення t:

Знаючи t₀, знаходимо відстань .

Знайдемо відстань від точки М₀(1, 2, – 1) до прямої .