Лінійний оператор та його матриця

Означення. Лінйним оператором у векторному просторі називається відображення векторного простору в себе → таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):

1) ;

1) ;

Лінійний оператор називається також лінійним перетворенням векторного простору .

Означення. Матрицею лінійного оператора в базисі називається матриця

,

елементами якої є коефіцієнти в розкладі образів векторів за базисом , тобто

;

;

………………………………………..

.

З означення випливає, що стовпцями матриці є координатні рядки векторів , , в базисі .

При фіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна матриця -го порядку – матриця цього лінійного оператора. Справедливе і обернене: кожна матриця -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору в базисі .

У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпчик вектора :

.

Власні значення і власні вектори лінійного оператора

Нехай – векторний простір, а – лінійний оператор в цьому просторі.

Означення. Число називається власним значенням лінійного оператора , якщо існує ненульовий вектор , такий, що . Вектор називається власним вектором лінійного оператора , який відповідає власному значенню .

З означення випливає, що лінійний оператор переводить власний вектор в йому пропорційний вектор.

Нехай – матриця порядку , – одинична матриця порядку , – деяке невідоме.

Означення. Характеристичним многочленом матриці називається многочлен , визначений рівністю:

.

Означення. Характеристичним многочленом лінійного оператора називається характеристичний многочлен його матриці.

Теорема (про власні значення лінійного оператора). Кожне власне значення лінійного оператора є коренем його характеристичного многочлена і навпаки, кожний корінь характеристичного многочлена є власним значенням лінійного оператора .

На практиці координати власного вектора , який відповідає певному власному значенню визначають як ненульовий розв’язок однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

.

Приклад. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора , який заданий в деякому базисі матрицею

.

Розв’язання. 1) Складемо характеристичний многочлен і визначимо його корені:

;

; ; , .

Отже, , – власні значення лінійного оператора.

2) Визначимо координати власних векторів:

Для

; , , .

Отже, власному значенню відповідає власний вектор , .

Для

;

; , , .

Отже, власному значенню відповідає власний вектор , .

Домашнє завдання: вивчити питання лекції.