Задания по теме «Ряды»

Выражение вида

,

где – члены ряда, – n-й или общий член ряда, называется бесконечным рядом.

Если члены ряда:

· числа, то ряд называется числовым;

• числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
• числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
• положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

· числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

• функции, то ряд называется функциональным;
• степени х, то ряд называется степенным;

· тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

Числовые ряды. Ряды с положительными членами

Основные понятия числового ряда

Числовым рядом называется сумма вида

, (1)

где называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы:

составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

и .

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.

Задание 1. Найти общий член числового ряда:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: . Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Задание 2. Проверить выполнение необходимого условия сходимости ряда:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признаки сравнения рядов с положительными членами

1-й признак сравнения.Пусть и − ряды с положительными

членами, причём для всех номеров n, начиная с некоторого. Тогда:

1) если ряд сходится, то сходится и ряд

2) если ряд расходится, то расходится и ряд

2-й признак сравнения.Пусть и −ряды с положительными членами, причём существует конечный и отличный от нуля предел тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Ряд Дирихле

Ряд где p>0, называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при и расходится при . Частным случаем ряда Дирихле (при ) является гармонический ряд .

Задание 3. Исследовать на сходимость по признакам сравнения:

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами выполняется условие то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не даёт решения, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие признаки.

Задание 4. Исследовать на сходимость по признаку Даламбера:

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Интегральный признак Коши.Пусть функция f(x) при x ≥1 удовлетворяет условиям:

1) непрерывна,

2) положительна,

3) монотонно убывает.

Тогда числовой ряд , где =f(n), n ≥1 сходится или расходится

одновременно со сходимостью или расходимостью интеграла

Задание 5. Исследовать на сходимость по интегральному признаку Коши следующие ряды:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Знакопеременные ряды