Теорема. Будь-яка площина у тривимірному просторі визначається лінійним рівнянням (3). Кожному лінійному рівнянню при відповідає в цьому просторі деяка площина.
Площина та пряма у просторі
3.5.1. Загальне рівняння площини
Виведемо рівняння площини у тривимірному просторі, узявши точку М0(х0, у0, z0) на цій площині і вектор , перпендикулярний до неї (вектор нормалі). Нехай М(х, у, z) — довільна точка на площині. Ця точка належить площині тоді і тільки тоді, коли вектор перпендикулярний до вектора (рис. 3.49).
Рис. 3.49
Умова перпендикулярності вектора
до вектора подається у вигляді
(1)
Дістали рівняння площини, що проходить через задану точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно до заданого вектора .
Якщо позначимо сталу величину
, (2)
то рівняння (1) набере вигляду
(3)
Рівняння (3) є лінійним відносно координат х, у, z.
Справджується така теорема.
Теорема. Будь-яка площина у тривимірному просторі визначається лінійним рівнянням (3). Кожному лінійному рівнянню при відповідає в цьому просторі деяка площина.
Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше. Доведемо, що будь-якому лінійному рівнянню виду (3) відповідає деяка площина. Візьмемо вектор і знайдемо числа х0, у0, z0, які задовольняють рівняння
(4)
Розглянемо тепер дві точки М0(х0, у0, z0), М(х, у, z). Згідно з (3) та (4) рівняння (1) можна записати у векторному вигляді:
.
Отже, вектор перпендикулярний до вектора n. Це означає, що точка М(х, у, z) належить площині, яка проходить через точку М0(х0, у0, z0) і перпендикулярна до вектора n. Теорему доведено. ¨
З доведення випливає, що в загальному рівнянні площини коефіцієнти А, В, С при х, у, z є проекціями вектора, перпендикулярного до площини цієї площини.
За допомогою векторів
запишемо рівняння площини у векторній формі:
,
або
Розглянемо функцію трьох змінних
.
За допомогою цієї функції увесь простір можна розбити на два півпростори: в одному виконується нерівність , а в іншому — нерівність . На площині, яка розмежовує ці підпростори, виконується рівність .
3.5.2. Дослідження загального
рівняння площини
Якщо одна з координат х, у, z не входить до рівняння поверхні , то зі зміною цієї координати вид поверхні не змінюється. Така поверхня буде циліндричною із твірною, що паралельна осі, яка відповідає зазначеній координаті.
Дамо інтерпретацію загального рівняння площини
в разі, якщо один або кілька його коефіцієнтів перетворюються на нуль.
1. А = 0 — площина паралельна осі х.
2. В = 0 — площина паралельна осі у.
3. С = 0 — площина паралельна осі z.
4. D = 0 — площина проходить через початок координат.
5. А = 0, В = 0 — площина перпендикулярна до осі z.
6. А = 0, С = 0 — площина перпендикулярна до осі у.
7. В = 0, С = 0 — площина перпендикулярна до осі х.
8. А = 0, D = 0 — площина проходить через вісь х.
9. В = 0, D = 0 — площина проходить через вісь у.
10. С = 0, D = 0 — площина проходить через вісь z.
11. А = 0, В = 0, D = 0 — площина проходить через осі х, у.
12. А = 0, С = 0, D = 0 — площина проходить через осі х, z.
13. В = 0, С = 0, D = 0 — площина проходить через осі у, z.
У загальному випадку, коли жодний із коефіцієнтів рівняння не перетворюється на нуль, рівняння площини можна звести до вигляду
(1)
Площина, що визначається рівнянням (1), перетинає осі координат у точках х = а, у = b, z = c. Тому рівняння (1) називається рівнянням площини у відрізках на осях.
Зведемо рівняння площини
до вигляду (1). Для цього поділимо обидві його частини на 6:
.
Отже, площина перетинає осі координат у точках х = 3, у = 2, z = 6. ·
3.5.3. Рівняння площини,
що проходить через три точки
Нехай дано три точки М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3), які не лежать на одній прямій. Знайдемо рівняння площини, яка проходить через ці три точки. Записавши рівняння
складемо систему:
Оскільки ця однорідна система рівнянь має ненульовий розв’язок А, В, С, то її визначник дорівнює нулю:
(1)
1. Рівняння (1) є рівнянням площини, що проходить через три точки.
¨ Справді, рівняння (1) є лінійним і, відповідно, визначає деяку площину. Точки лежать на цій площині, оскільки при підставлянні у визначник (1) дістанемо визначник з нульовим рядком або двома однаковими рядками.
Запишемо рівняння площини, яка проходить через три точки М1(1, 1, 1), М2(2, 3, 4), М3(4, 3, 1).
· Рівняння (1) набирає вигляду:
.
Розкривши визначник, дістанемо рівняння
. ·
3.5.4. Відстань від точки до площини
Дано площину
і точку М1(х1, у1, z1) поза нею. Знайдемо відстань від точки М1 до площини. Нехай точка М0(х0, у0, z0) лежить на площині. Тоді відстань d від точки М1 до площини дорівнює модулю проекції вектора , на нормаль до площини (рис. 3.50).
Рис. 3.50
Отже,
.
Оскільки
то
(1)
Знайдемо відстань d від точки М1(1, 2, 3) до площини, заданої рівнянням .
· Згідно з (1) маємо:
. ·
Рівняння площини, записане у вигляді
де знак перед радикалом протилежний знаку D, називається нормальним рівнянням площини. Якщо D = 0, то вибір знака неістотний.
Щоб знайти відстань від точки М1(х1, у1, z1) до площини, слід підставити координати цієї точки в нормальне рівняння площини і знайти модуль здобутої величини.
Величина
називається відхиленням точки М(х, у, z) від площини.
Модуль відхилення дорівнює відстані від точки М(х, у, z) до площини. Якщо , то точка М(х, у, z) і початок координат лежать по один бік від розглядуваної площини; якщо , — по різні боки; якщо , то М лежить на цій площині.
Коли маємо дві площини, які перетинаються й подаються рівняннями
то бісектральні площини визначаються рівнянням
(2)
3.5.5. Взаємне розміщення двох площин
Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями
.
Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:
.
Кут q між площинами визначається кутом qміж векторами . Отже, справджується рівність
. (1)
Умова перпендикулярності площин така:
. (2)
Умова паралельності площин:
. (3)