Вычисление двойного интеграла.
Кратные интегралы.
Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Двойные интегралы.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой
f(x, y) = 0.
y
0 x
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.
С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.
Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.
Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интеграломот функции f(x, y) по области D.
С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:
В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:
Условия существования двойного интеграла.
Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует.
Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.
Свойства двойного интеграла.
1)
2)
3) Если D = D1 + D2, то
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.
5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .
6) Если f1(x, y) £ f2(x, y), то .
7) .
Вычисление двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и
j £ y, тогда
y y = y(x)
D
y = j(x)
a b x
Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2.
y
D
0 2 x
=
=
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то
Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
y
y = x
D
0 x
Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.
=
=
Пример. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.
1.
2.
3.