Теорема о моменте равнодействующей (Вариньона)

Если данная система имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.

(4.2)

▲ Пусть система сил приводится к равнодействующей , приложенной в точке . Приложим к этой точке силу . Тогда система ~ 0 , а, следовательно, должно выполняться равенство :

, . ∆

Теорема об изменении главного момента при перемене центра приведения.

Главный момент при перемене центра приведения изменяется на момент главного вектора, приложенного в старом центре приведения, относительно нового центра приведения.

(4.3)

▲ Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения, поэтому

.

Для центра приведения главный момент равен:

,

где - радиус вектор точки приложения силы , проведенный из нового центра приведения.

С учетом , получим:

∆

Статические инварианты. Динамический винт.

Согласно (4.3) главный момент для нового центра приведения определяется формулой:

Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор :

Т.к. , то , откуда .

Т.е. скалярное произведение главного вектора на главный момент не зависит от центра приведения.

Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются главный вектор и скалярное произведение главного вектора на главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны относительно выбора центра приведения.

Первым статическим инвариантом называется главный вектор .

.

Вторым статическим инвариантом называется скалярное произведение главного вектора на главный момент.

.

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Другими словами динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе.

Правый и левый динамические винты:

Рис. 4.5

Теорема о приведении к динаме.

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему сил можно привести к динаме.

Рис. 4.6а Рис. 4.6б

▲ Пусть в произвольной точке система сил приведена к главному вектору и паре сил с моментом . Т.к. , то . Разложим вектор главного момента на составляющие , так чтобы . Вектор представляет собой момент пары, расположенной в плоскости, перпендикулярной . Выберем силы пары таким образом, чтобы , приложим пару в точке . Т.к. система сил ~0 , то их можно отбросить. А т.к. момент - свободный вектор, то его можно перенести в точку . Таким образом, заданная система сил приведена в точке к динамическому винту. ∆