Прочность бруса при сложном сопротивлении

Дан плоскопространственный консольный брус из двух стержней с ломаным очертанием осевой линии. Сечение одного стержня круглое с диаметром d, сечение другого стержня прямоугольное с заданным соотношением сторон h/b. Стержни перпендикулярны между собой, Силы направлены перпендикулярно стержням или вдоль их осей, пары сил (моменты) лежат в плоскостях, перпендикулярных одному из стержней.

Требуется:

1. Построить эпюры N, M_x , M_y, M_к в аксонометрии.

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий N, M_x , M_y и M_k (касательными напряжениями от поперечных сил в сечениях пренебречь).

4. Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить размеры поперечного сечения d, b, h.

Указание. Ориентацию прямоугольного сечения относительно координатных осей выбирает студент.

Исходные данные

Шифр	м	a м	h/b	кН	кН	МПа	МПа
31-6	1,1	0,6	1,75					0,95

Расчётная схемаРешение

Заданы расчётные значения сопротивления материала и нагрузок. Для проверки прочности балки потребуются максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях. Поэтому необходимо построить соответствующие эпюры.

Искомые размеры поперечных сечений зависят от внутренних сил. Поэтому займёмся их определением с помощью метода сечений. Чтобы не вычислять специально опорные реакции, в методе сечений будем рассматривать отсечённые части, не включающие заделку. Рассмотрим каждый участок отдельно.

Участок BC. Отсечённая часть представлена на рис. 2. Показаны координатные оси и внутренние силы. Направления последних избираются произвольно, их действительные направления далее даются решениями уравнений. Составим уравнения равновесия и найдём из них внутренние силы

Во всех ответах получены положительные знаки, и это означает, что фактические направления внутренних сил совпадают с заранее показанными на рисунке 1.

Участок CD. Отсечённая часть представлена на рис. 3. Как и в предыдущем случае составим уравнения равновесия, и найдём внутренние силы

Для продольной силы получен знак минус, и это означает, что направление стрелки противоположно изображённому на рисунке 3, т.е. участок CDработает на сжатие.

По результатам вычислений построены эпюры N, M_x и M_к, показанные на рисунке 4. Изгибающие моменты M_y тождественно равны нулю.

Перейдём к определению размеров поперечных сечений стержня. Расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие равны между собой. Значит, наиболее подходящей теорией прочности является энергетическая теория прочности.

Участок BС подвергается прямому поперечному изгибу. При пренебрежении поперечной силой (значит, и касательными напряжениями) здесь расчёт должен проводиться в опасном сечении по нормальному напряжению, так как напряжённое состояние получается линейным (одноосным). Опасным сечением является сечение С с максимальным изгибающим моментом М_х = 3,6 кНм. Независимо от применяемой теории прочности условие прочности по первому предельному состоянию имеет вид

(1)

где W_х – осевой момент сопротивления поперечного сечения. Вычислим его по известной формуле для круга

Теперь условие прочности (1) после подстановок принимает вид

Решая, получим d = 6,1 см.

Участок СD находится в условиях сложного сопротивления, так как в его сечениях действуют сжимающая продольная сила, изгибающий момент, крутящий момент и поперечная сила (рис. 5), влиянием которой пренебрегаем, и поэтому не показываем. Опасным является сечение D, в котором сочетаются наибольшие значения N, M_x, M_к. Анализ рисунка показывает, что опасной точкой является Е, где суммируются сжимающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента, и одновременно действует касательное напряжение от крутящего момента. Здесь создаётся плоское напряжённое состояние, условие прочности которого по энергетической теории имеет вид

(2)

Выпишем площадь и моменты сопротивления прямоугольного сечения при изгибе и кручении

Здесь – табличный коэффициент для прямоугольного сечения при . Нормальное и касательное напряжения в точке Е будут

- табличный коэффициент для прямоугольного сечения при , учитывающий, что точка Е находится в середине короткой стороны прямоугольника.

Вычислим правую часть условия прочности (2)

МПа кПа.

После подстановок условие прочности (2) принимает вид

(3)

Записанное в виде равенства оно представляет собой уравнение с неизвестным b. Определение его корня точными методами затруднительно и требует громоздких преобразований и вычислений. Поэтому применим простой метод итераций (последовательных приближений). С этой целью дробь в подкоренном выражении, содержащую b², преобразуем, умножив числитель и знаменатель на b.

После несложных преобразований уравнение принимает вид

(4)

Итерационный процесс организуем по формуле, вытекающей из (4)

(5)

Для начала примем, что b₁ = 0, и далее проведём вычисления, следуя (5). Итоги счёта в табличной форме

k
b, см		4,5	4,52	4,523	4,523

Вычисления прекращаются, так как заметного уточнения b, уже не происходит. Принимаем, что см. Из условия задачи находим второй размер

h = 1,75b = 1,75·4,52 = 7,91 см.

В середине длинной стороны прямоугольника G касательные напряжения являются наибольшими, поэтому проверим прочность при найденных значениях сечения. Здесь напряжения будут

Очевидно, что условие прочности (2) выполняется. Поэтому найденные размеры являются окончательными.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	м	a м	h/b	кН	кН	M кНм	МПа	МПа
	1,0	0,6	1,5						0,90
	0,8	0,5	1,75						1,00
	1,1	0,7	1,5						0,85
	0,7	0,4	1,75						0,95
	0,9	0,5	1,75						0,90

Задача 4