Источники и классификация погрешностей

Математическая модель и погрешности

Процесс решения задачи из физики, техники или экономики методами с помощью математического моделирования метода состоит из нескольких этапов (рис. 1.1).

Рис.1.1. Процесс решения задачи

1. На первом этапе проводится исследование объекта и формулируется содержательная (физическая, техническая, экономическая или в другой предметной области) постановка задачи. Для того чтобы задачу можно было описать количественно, нужно провести качественный и количественный анализ свойств объекта и выделить основные параметры, оказывающие на них наиболее существенное влияние.

2. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта. Под математической моделью понимают систему математических соотношений (уравнений, неравенств, краевых, начальных условий), которым должна удовлетворять система основных параметров задачи или объекта. Одно из основных требований, предъявляемых к математической модели — это соответствие исследуемому объекту, т.е. ее адекватность. Другое немаловажное требование — это, чтобы модель была не слишком сложной, доступной для математической обработки. Найти оптимальное сочетание адекватности и сложности зависит от квалификации, и даже интуиции исследователя и является в определенной степени искусством.

3. На следующем этапе необходимо найти методы (алгоритмы) решения математической задачи. В некоторых, наиболее простых случаях удается построить аналитическое решение задачи. Такие решения являются наиболее привлекательными, поскольку они позволяют не только количественно, но и, что не менее важно, качественно проанализировать исследуемые параметры. К сожалению, в подавляющем большинстве случаев это не представляется возможным, и для решения математической задачи применяются численные методы. Как аналитические, так и численные методы решения задач, подразделяются на точные и приближенные. К точным относят такие методы, которые позволяют получить решение задачи с любой, заранее заданной точностью. Приближенные методы не предоставляют такой возможности. В этих случаях при построении решения должна быть произведена оценка погрешности, или остаточного члена. В свою очередь, численные методы решения задач разбиваются на две группы. К первой относятся так называемые прямые методы – алгоритмы, позволяющие за конечное, заранее определенное число арифметических действий получить решение задачи. Вторую группу составляют методы последовательных приближений, или, так называемые, итерационные методы.

4. Четвертым этапом является разработка программы решения задачи на компьютере, ее тестирование и отладка. Может оказаться так, что рассматриваемая математическая задача исследована, и для её решения разработаны стандартные программы, которые могут существовать отдельно или входить в пакеты прикладных программ. Тогда остается только выбрать подходящую программу или пакет прикладных программ.

5. На заключительном этапе выполняют вычислительные эксперименты на компьютере и проводят анализ результатов.

На всех этапах появляются погрешности, которые влияют на точность результатов. Если полученные результаты не устраивают исследователя, то возвращаются к первому этапу и корректируют содержательную постановку задачи и математическую модель. При этом изменения могут быть внесены и на всех последующих этапах.

Источники и классификация погрешностей

Выделим следующие основные источники погрешностей:

а) параметры, входящие в описание задачи, заданы неточно; соответствующую погрешность называют неустранимой;

б) математическая модель описывает изучаемый объект приближенно с учетом лишь основных, наиболее существенных факторов (погрешность математической модели);

в) численный алгоритм, применяемый для решения математической задачи, зачастую дает лишь приближенное решение(погрешность метода);

г) в процессе вычислений на компьютере промежуточные и конечные результаты округляются (вычислительная погрешность или погрешность округления). Методы, причисляемые к точным, не учитывают наличие вычислительной погрешности.

Часто первые два вида погрешности, объединяя их в один вид, также называют неустранимой погрешностью.

Обозначив через I абсолютную величину погрешности результата, а через I_н, I_м, и I_о — абсолютные величины неустранимой погрешности, погрешности метода и погрешности округления соответственно, — нетрудно получить следующее соотношение:

(1.1)

Неравенство (1.1) дает оценку для погрешности результата. Из этого неравенства можно сделать важный вывод: полную погрешность результата нельзя сделать меньше, чем наибольшая из составляющих ее погрешностей.