A. квадратичная функция (эллипс)

Курсовой проект

“Моделирование процесса параметрической идентификации динамического объекта”

По дисциплине: математические модели

Вариант №7.

Выполнил:

студент группы 23504/21

Груздев К. С.

Преподаватель:

Леонтьева Т. В.

Санкт-Петербург

2013 год

Исходные данные: A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Часть 1. Преобразование формулы и решение ее с помощью Метода Эйлера


A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Перейдём в вещественную форму:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru
A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru
A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Обозначим:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru
A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru
A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Получим систему уравнений в канонической форме:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Далее решаем систему методом Эйлера

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru
A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

А также, на каждом шаге подставив полученные значения, рассчитываем

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Выберем шаг h=0.5, выполним необходимые вычисления и построим график функции.

Полученный график представлен на рис.1. По графику видно, что функция

y(t)-> к числу чуть больше 0. А выходит она из точки ~ -1500.
Узнаем точные значения этих точек. Для этого вычислим пределы:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru = 30

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru = -1500

Некоторые значения y представлена в таблице 1 “ Зависимость значения функции от времени”.

Наилучший период наблюдения t=1...300, шаг h=0.5.

Взято 300 точек, т.к. уже на этом периоде наблюдения видно как график функции сходится к положительному числу около 0. График функции искажается при шаге больше 0.5 (при шаге больше 0,8 - расходится). А при меньшем шаге сходимость получим за большее число шагов. Поэтому выбран шаг h=0.5.

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

(рис.1)

Таблица 1

“Зависимость значения функции от времени”

t y(t)
-1500
1130,33569982263
-407,472269924090
-131,811172218857
546,368398013440
-554,815355895296
465,038634809155
-156,677691301819
-15,5099285734393
218,653161918972
-192,944828877209
201,440561416127
-48,6973993327229
18,9739612829796
98,5444137678508
-54,7630972652742
97,3519023534570
-2,84302221765938
28,2615453956948
54,7510635292838
-2,13806225774806
56,3810973500383
16,4104765802804
30,2954912892119
38,8749721864901
17,8493005972232
40,3035993332771
24,4184897222613
30,4841608516322
33,1566814566145

Часть 2. Моделирование метода оптимизации.

МЕТОД ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА

Описание метода поиска

Метод предназначен для нахождения экстремума (минимума) функции A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru ,

но в нашем случае: A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru .

1. Задается начальная точка A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru , отличная от точки минимума. Задаются точность (E) и шаг (h).

2. Далее выбираем координату (направление), по которой будем двигаться по функции:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

а все остальные координаты фиксируем. И ищем минимальное значение функции как функцию одной переменной (Х1)

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

В случае если новое значение функции больше предыдущего, то меняем шаг на противоположный (h = -h).

3. Когда находим значение координаты, при котором значение функции минимально, то выбираем другую координату, по которой будем двигаться по функции:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

а все остальные координаты снова фиксируем.

Выбор остановки задан 4 условиями:

1. A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

2. A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

3. A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

4. Число обращений (итераций)

k(f) > kmax

В данном случае я использовал 2 и 4 условия, т. к. 3 условие не подходит из-за того, что шаг постоянный, а 1 условие – затрачивает больше ресурсов.

2) Результаты работы программы:

a. Квадратичная функция (Эллипс)

Функция имеет вид A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

i. Начальная точка А0 (2, 2).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.2; %Шаг

a = 3;

b = 2;

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

(рис.2)

№ шага X1 X2
1,8
1,6
1,4
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
2,78E-16
2,78E-16 1,8
2,78E-16 1,6
2,78E-16 1,4
2,78E-16 1,2
2,78E-16
2,78E-16 0,8
2,78E-16 0,6
2,78E-16 0,4
2,78E-16 0,2
2,78E-16 2,78E-16

N = 21

ii.

b. функция Розенброка

Функция имеет вид:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

i. Начальная точка А0 (2, 2).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

(рис.3)

№ шага X1 X2
1,9000
1,8000
1,7000
1,6000
1,5000
1,4000

N = 7

ii. Начальная точка А0 (1, -4).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

(рис.4)

№ шага X1 X2
-4
0,8 -4
0,6 -4
0,4 -4
0,2 -4
5,55E-17 -4
5,55E-17 -3,8
5,55E-17 -3,6
5,55E-17 -3,4
5,55E-17 -3,2
5,55E-17 -3
5,55E-17 -2,8
5,55E-17 -2,6
5,55E-17 -2,4
5,55E-17 -2,2
5,55E-17 -2
5,55E-17 -1,8
5,55E-17 -1,6
5,55E-17 -1,4
5,55E-17 -1,2
5,55E-17 -1
5,55E-17 -0,8
5,55E-17 -0,6
5,55E-17 -0,4
5,55E-17 -0,2
5,55E-17 1,28E-15
0,2 1,28E-15

N = 27

Блок-схема основной программы: A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Блок-схема функции

y = EllipseFunct_or_FunctRosenbrock(function_name, x_0_i, x_1_i, a, b):

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

Выводы ко второй части:

Ввиду того, что метод покоординатного спуска нулевого порядка, он довольно неточен. Из-за того, что функция розенброка имеет овражный рельеф, дойти до точки минимума не удалось, из-за. Точка остановки в этом случае была довольно далеко от точки минимума. В случае с функцией Эллипса точка минимума была достигнута за 21 итерацию, при шаге h = 0.2

Часть 3. Шум.

Создание ГСЧ и поиск модели зашумленного сигнала.

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru , т. к. y_max по модулю равен 1500 (> 500).

Проверка генератора «Треугольного шума» при N = 10000 и delta_y = 7.5:

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

(рис.5)

График Y теоретического и Y экспериментального (зашумленный график Y теоретического)

A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru

(рис.6)

Таблица 2

«Значения Yэкс в зависимости от A. квадратичная функция (эллипс) - student2.ru шума»

Наши рекомендации