Методичні вказівки до вивчення курсу
ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ
Студенти заочної форми навчання вивчають курс вищої математики в основному самостійно. Перед вивченням курсу треба ознайомитись з його програмою, методичними вказівками та списком рекомендованої літератури. По кожному розділу можна обмежитись одним-двома підручниками і лише при вивченні важких питань звернутись до додаткової літератури.
Розділи програми, на які необхідно звернути особливу увагу, а з якими досить лише ознайомитися, теореми, які треба вміти доказувати, а які лише формулювати - ці й інші поради можна отримати на установчих лекціях. Інформація з цих питань міститься в цих методичних вказівках.
При вивченні матеріалу необхідно вести конспект, записуючи в ньому назви тем, основні визначення, формулювання теорем та їхні докази. Розгляд теоретичних питань обов’язково повинно супроводжуватися розв’язуванням задач.
Вивчивши теорію, можна розпочати виконання контрольних робіт, які є проміжним звітом про виконану працю, про ступінь засвоєння вивчаємого матеріалу. Контрольні роботи повинні бути виконані самостійно.
При виконанні контрольних робіт слід суворо дотримуватись таких правил.
Кожну контрольну роботу треба виконувати в окремому зошиті ручкою будь-якого кольору за винятком червоного. Для зауважень рецензента слід залишити поля завширшки 4-6 см.
Роботу слід підписувати згідно зі зразком, що вказаний нижче:
Контрольна робота № 1
з вищої математики
студента І курсу енергетичного факультету
групи ЗЕН-Т9-І
Іванченка Віктора Петровича
варіант 12, шифр ЗЕН-Т9-І31.
Дата відправки 10.11.2004р.
Домашня адреса:
61002, м. Харків-02
вул. Блюхера, буд11, кв.126.
Іванченко В.П.
Задачі, що входять до контрольної роботи визначаються викладачем відповідно до робочої програми кожної спеціальності. Контрольні роботи слід виконувати згідно зі своїм варіантом, номер якого вказується викладачем або співпадає з останньою цифрою шифру. Робота, що виконана не за своїм варіантом, не перевіряється.
Задачі слід розв’язувати у порядку зростання номерів, зберігаючи номери, які вони мають у методичних вказівках.
Умови задач повинні бути записані повністю, при цьому слід замінити спільні буквенні дані конкретними, відповідно до виконуваного варіанту.
Розв’язок задач слід записувати акуратно, з докладними поясненнями. Отримавши перевірену роботу, слід усунути недоліки, якщо вони є, записати знову у кінці роботи умови й розв’язування задач, що мають помилки, усунути ці помилки та відіслати її для повторної перевірки у найкоротший час.
Якщо робота не потребує повторної перевірки, то студент повинен пройти співбесіду за цією роботою у визначені викладачем строки. При співбесіді студент повинен знати відповідний теоретичний матеріал і вміти розв’язувати аналогічні задачі.
Студенти, що не виконали всіх контрольних робіт або не пройшли співбесіди, до заліку або екзамену не допускаються.
Зараховані після співбесіди контрольні роботи студенти подають на заліку або іспиті.
ПРОГРАМА КУРСУ
Т е м а I. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гаусса.
2. Визначники, їх властивості. Алгебраїчні доповнення й мінори. Обчислення визначників з використанням їх властивостей. Правило Крамера.
3. Матриці, дії з ними. Поняття оберненої матриці.
4. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою оберненої матриці.
5. Системи координат на прямій, площині й у просторі. Простори й . Вектори. Лінійні операції над векторами. Проекція вектора на вісь. Направляючі косинуси й довжина вектора. Поняття про векторні діаграми в науці й техніці (діаграми сил, моментів сил, електричних струмів, напруг та ін.). Координати центра мас.
6. Скалярний добуток векторів та його властивості. Довжина вектора й кут між двома векторами в координатній формі. Умова ортогональності двох векторів. Механічний зміст скалярного добутку.
7. Векторний добуток двох векторів, його властивості. Умова колінеарності двох векторів. Найпростіші застосування векторного добутку в науці й техніці: моменти сил; сила, що діє на провідник зі струмом у магнітному полі; швидкість точки тіла, що обертається; напрям розповсюдження електромагнітних хвиль; поняття про явище гіроскопії та ін.
8. Мішаний добуток трьох векторів, його властивості, геометричний зміст.
9. Рівняння лінії на площині. Різні форми рівняння прямої лінії на площині. Кут між прямими. Відстань від точки до прямої.
10. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола. Їхні геометричні властивості та рівняння. Технічні застосування геометричних властивостей кривих (використання фокальних властивостей, математичні моделі формоутворення біологічних, технічних та інших об’єктів).
11. Рівняння площини й прямої у просторі. Кут між площинами. Кут між прямою і площиною.
12. Рівняння поверхні у просторі. Циліндричні поверхні. Сфера. Конуси. Еліпсоїди. Гіперболоїди. Параболоїди. Геометричні властивості поверхонь, дослідження їхньої форми за методом перерізів.
13. Полярні координати на площині. Спіраль Архімеда.
14. Циліндричнгі й сферичні координати у просторі. Різні способи завдання ліній й поверхонь у просторі.
15. Простір . Лінійні операції над векторами. Різні норми . Скалярний добуток у .
16. Лінійні й квадратичні форми у . Умови знаковизначенності квадратичної форми.
17. Поняття лінійного (векторного) простору. Вектор, як елемент лінійного простору. Приклади. Лінійні оператори. Приклади лінійних операторів. Застосування лінійних операторів для моделювання різних процесів.
Т е м а 2. Вступ до математичного аналізу.
1. Елементи математичної логіки: необхідна й достатня умови. Пряма й зворотна теореми. Символи математичної логіки, їх використання. Біном Ньютона. Формули скороченого множення.
2. Множина дійсних чисел. Функція. Область її визначення. Способи задання. Основні елементарні функції, їхні властивості й графіки.
3. Числові послідовності, їхня роль у обчислювальних процесах. Границя числової послідовності. Існування границі монотонної обмеженої послідовності.
4. Складні й обернені функції, їхні графіки. Класи елементарних функцій.
5. Границя функції у точці. Границя функції у нескінченності. Границі монотонних функцій.
6. Неперервність функцій у точці. Неперервність основних елементарних функцій.
7. Нескінченно малі в точці функції, їхні властивості. Порівняння нескінченно малих. Символи та .
8. Властивості функцій, неперервних на відрізку: обмеженість, існування найбільшого та найменшого значень, існування проміжних значень. Метод бісекції.
Т е м а 3. Диференціальне числення функцій однієї змінної.
1. Поняття функції, диференційованої в точці. Диференціал функції. Загальне уявлення про методи лінеаризації.
2. Похідна функції, її зміст у різних задачах. Правила знаходження похідної та диференціала.
3. Похідна складної та оберненої функцій. Інваріантність форми диференціала, диференціювання функцій, заданих параметрично.
4. Точки екстремума функції. Теорема Ферма.
5. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, їх застосування.
6. Похідні й диференціали вищих порядків.
7. Правило Лопіталя.
8. Формула Тейлора з залишковим членом у формі Піано й формі Лагранжа. Подання функцій , , , , за формулою Тейлора. Застосування формули Тейлора у обчислювальній математиці.
Т е м а 4. Застосування диференціального числення для дослідження функцій і побудови їхніх графіків.
1. Умови монотонності функції. Екстремуми функції, необхідна умова. Достатні умови. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції, диференційованої на відрізку.
2. Дослідження опуклості функції. Точки перегину.
3. Асимптоти функцій. Поняття про асимптотичне розкладання.
4. Загальна схема дослідження функції та побудови її графіка.
5. Поняття кривої. Приклади. Рівняння дотичної до кривої в даній точці.
Т е м а 5. Елементи вищої алгебри.
1. Комплексні числа, дії над ними. Зображення комплексних чисел на площині. Модуль та аргумент комплексного числа. Алгебраїчна й тригонометрична форми комплексного числа. Формула Ейлера. Показникова форма комплексного числа. Корені з комплексних чисел.
2. Многочлени. Теерема Безу. Основна теорем алгебри. Ровкладання многочлена з дійсними коефіцієнтами на лінійні та квадратичні множники.
3. Розкладання раціональних дробів на найпростіші.
4. Поняття про інтерполяцію та апроксимацію.
Т е м а 6. Невизначений інтеграл.
1. Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості.
2. Методи інтегрування. Використання таблиць інтегралів.
Т е м а 7. Визначений інтеграл
1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Визначений інтеграл, його властивості.
2. Формула Ньютона-Лейбніца, її застосування для обчислення визначених інтегралів.
3. Методи обчислення визначеного інтеграла за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона.
4. Невласний інтеграл з нескінченними границями та від необмежених функцій, його основні властивості.
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИВЧЕННЯ КУРСУ
Т е м а 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
1.1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гаусса.
У цьому розділі особливу увагу слід звернути на теорію систем лінійних алгебраїчних рівнянь, з якими доводиться мати справу у багатьох задачах вищої математики та її застосувань.
Система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими має вигляд
(1.1)
де - коефіцієнти системи; - невідомі; - вільні члени або праві частини системи; , ; - номер рівняння, - номер невідомого.
Кількість рівнянь може бути менше, дорівнювати або більше кількості невідомих .
Треба знати, що система неоднорідна, якщо вільний член хоча б одного з рівнянь відрізняється від нуля, й однорідна, якщо, вільні члени всіх рівнянь дорівнюють нулю.
Система сумісна, якщо вона має хоча б один розв’язок, й несумісна, якщо вона не має жодного розв’язку. Сумісна система визначена, якщо вона має один єдиний розв’язок, і невизначена, якщо розв’язків більше одного.
Найбільш простим і раціональним методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовних виключень (метод Гаусса).
Ідея метода Гаусса полягає у зведенні системи рівнянь до одного рівняння. Для цього досить з будь-якого рівняння системи виразити будь-яке невідоме через інші й підставити його значення до усіх рівнянь, що залишилися. Отримаємо систему, що має на одне невідоме менше та щонайменше на одне рівняння менше. При цьому ті рівняння, шо мають вигляд , слід відкинути.
З новою системою робимо те ж саме доти, доки не прийдемо до одного рівняння з одним або кількома невідомими або не отримаємо рівняння вигляду ( ). В останньому випадку система є несумісною.
Якщо внаслідок виключення невідомих одержимо одне рівняння з одним невідомим, то знайдемо його значення, а потім, підставляючи послідовно значення знайдених невідомих у вирази для виключених невідомих, знайдемо усі інші невідомі.
Ясно, що у цьому випадку отримаємо єдиний розв’язок і, отже, система є сумісною визначеною.
Якщо ж унаслідок виключення отримаємо одне рівняння з декількома невідомими, то у той же спосіб зможемо лише виразити деякі невідомі через решту. У цьому випадку система має нескінченну кількість розв’язків, отже, є сумісною невизначеною. При цьому для отримання визначеного розв’язку необхідно частині невідомих надати довільні значення, а потім з їх допомогою знайти значення решти невідомих.
Обов’язково слід зробити перевірку правильності розв’язку. Для цього необхідно підставити розв’язок у ліві частини всіх рівнянь системи. Якщо при цьому значення лівих частин дорівнює правим, то систему розв’язано вірно, у протилежному випадку слід розв’язувати систему заново повністю.
При розв’язуванні систем з цілими коефіцієнтами треба пам’ятати, що у цьому випадку систему можна звести до одного рівняння, оперуючи лише з цілими числами. Для цього досить на кожному кроці зробити який-небуль коефіцієнт системи рівним одиниці, комбінуючи рівняння системи.
Приклад 1.1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
Розв’язок.
Перевірка:
Оскільки значення лівих частин рівнянь системи при знайдених значеннях невідомих дорівнюють правим частинам, то систему розв’язано вірно.
Відповідь: , , .
На практиці часто розв’язування системи виконують у табличній формі, виписуючи лише коефіцієнти та праві частини системи. Покажемо це на попередьому прикладі.
Остання таблиця зображує систему
З останнього рівняння знаходимо: . Тоді з другого рівняння і, нарешті, з першого . Порівняйте з тим, що отримано раніше.
Зверніть увагу на оформлення розв’язків системи в обох випадках, що дозволяють обійтись мінімумом пояснень і мають більше наочності.
Одна з переваг метода Гаусса над іншими полягає в тому, що за цим методом можна розв’язувати як однорідні, так і неоднорідні системи з будь-яким співвідношенням числа невідомих і кількості рівнянь.
Треба запам’ятати, що при розв’язуванні систем з багатозначними коефіцієнтами, коли доводиться робити округлення й, зокрема, при розв’язуванні систем на ЕОМ для зменшення помилок округлення використовується метод головних елементів, який відрізняється від наведеної схеми розв’язування лише тим, що на кожному кроці виключається невідоме з найбільшим за модулем коефіцієнтом.
Питання для самоперевірки.
1. Які алгебраїчні рівняння мають назву лінійних і чому?
2. Що зветься системою лінійних алгебраїчних рівнянь?
3. Яке співвідношення між кількістю невідомих та кількістю рівнянь може бути у системах лінійних алгебраїчних рівнянь?
4. Як позначають коефіцієнти такої системи?
5. У якому рівнянні та який коефіцієнт позначають , , , , ?
6. Яка система зветься однорідною, неоднорідною?
7. Що зветься розв’язком системи?
8. Які системи звуться сумісними, несумісними?
9. Які системи називаються визначеними, невизначеними?
10. Як звести систему лінійних алгебраїчних рівнянь до одного рівняння?
11. У чому полягає ідея методу Гаусса?
12. На скільки може зменшитись кількість рівнянь системи після виключення однієї невідомої і чому?
13. Як визначають несумісність системи у методі Гаусса?
14. Як визначають визначеність, невинначеність системи у методі Гаусса?
15. Як перевірити правильність розв’язування системи?
16. При якому співвідношенні між кількістю рівнянь і кількістю невідомих системи лінійних алгебраїчних рівнянь її можна розв’язати за методом Гаусса?
17. При якому співвідношенні між кількістю рівнянь і кількістю невідомих система може бути визначеною, невизначеною?
18. При якому співвідношенні між кількістю рівнянь і кількістю невідомих система не може бути визначеною?
19. В чому полягає метод головних елементів? Які його переваги?
Л і т е р а т у р а: [І, §4 або 2, гл. 5, §2; 3, № 218-223 (розв’язати системи за методом Гаусса); 4, № 4, 12.4, 17, 4.54-4.58].
1.2. Визначники. Правило Крамера.
Розрізняють визначники (або детермінанти) другого, третього й більш високих порядків.
Визначник другого порядку:
.
Тут зліва - позначення визначника другого порядку, праворуч - його значення.
Величини ( ) - елементи визначника.
Як бачимо, визначник другого порядку має елемента, що розташовані в вигляді таблиці з двома рядками та двома стовпцями, розміщеної між двома вертикальними лініями. Рядки й стовпці визначника мають назву рядів.
Треба звернути увагу на індекси елементів визначника: перший індекс вказує номер рядка, а другий - номер стовпця, у яких розташований елемент.
Якщо елементи визначника являють собою числа, то визначник також є число, що одержують за вказаною вище формулою.
Визначники позначаються, як правило, грецькими літерами або .
Приклад 1.2. Обчислити визначник
Розв’язок.
Визначник третього порядку:
Хоча вираз для визначника третього порядку є досить громіздкий, закон його складання дуже простий. Схематично правило обчислення визначника третього порядку можна зобразити таким чином:
Легко також запам’ятати правило Сар’юса обчислення визначників третього порядку. Згідно з цим правилом слід приписати праворуч від визначника перший та другий стовпці або знизу від визначника перший та другий рядки та вибрати відповідні добутки елементів згідно з наведеною нижче схемою:
Приклад 1.3. Обчислити визначник
Розв’язок.
Як бачимо, якщо елементами визначника є числа, то й визначник також є число.
Визначник го порядку позначають так:
.
Він має елементів з членів. При визначник має членів, для запису яких треба було б мати більш 20 тисяч сторінок. Тому обчислення визначників більш ніж третього порядку зводиться до обчислення визначників третього або другого порядків за допомогою таких двох властивостей визначника:
1. визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого ряду (рядка або стовпця) додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на одне й те саме число;
2. визначник довільного порядку дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення, зокрема, якщо у визначника го порядку всі елементи, крім одного, будь-якого ряду дорівнюють нулю, то визначник дорівнює добутку цього елемента, що відрізняється від нуля, на його алгебраїчне доповнення.
За допомогою першої з цих властивостей у будь-якому ряду всі елементи, крім одного, робимо рівними нулю, а з допомогою другої - порядок визначника знижуємо на одиницю. Так робимо доти, доки не прийдемо до визначника третього або другого порядків.
Нагадаємо, що алгебраїчним доповненням елемента визначника го порядку є добуток та визначника го порядку, який називається мінором, отриманого з даного визначника викреслюванням го рядка та го стовпця. Позначають алгебраїчне доповнення елемента через , а мінор елемента через . При цьому .
Приклад 1.4. Обчислити визначник
.
Розв’язок. Визначник не зміниться, якщо другий рядок ми додамо до першого й віднімемо від третього та четвертого, тобто:
.
Використовуючи той факт, що в третьому стовпці даного визначника знаходяться три нулі, розкладемо визначник за елементами третього стовпця. Тоді одержимо:
.
Якщо від третього стовпця віднімемо подвоєний перший, то матимемо:
.
Знову ж таки, використовуючи те, що в другому рядку є два нулі, розкладаючи визначник за елементами другого рядка остаточно маємо:
Використовуючи визначники розв’язують системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера.
Розглянемо квадратну систему лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто таку систему, в якій кількість рівнянь співпадає з кількістю невідомих:
(1.2)
За правилом Крамера розв’язок такої системи шукають за формулами:
, (1.3)
де
- визначник системи;
- визначник,
який отримують з визначника системи заміною го стовпця стовпцем правих частин.
Очевидно, що за правилом Крамера можна розв’язувати лише системи з рівнянь з невідомими з відмінним від нуля визначником системи. У цьому полягає його першій недолік у порівнянні з методом Гаусса. Крім того, для розв’язування системи за правилом Крамера необхідно обчислиш визначник го порядку, а обчислення одного визначника го порядку по обсягу обчислень порівняне з розв’язуванням системи рівнянь з невідомими за методом Гаусса. У цьому другий недолік правила Крамера. Тому правило Крамера має більш теоретичне значення, ніж практичне, і на практиці його використовувати нераціонально. Однак при розв’язуванні двох або трьох рівнянь з двома й трьома невідомими відповідно зазначені недоліки не такі вже страшні і є можливість скористатися правилом Крамера.
Приклад 1.5. Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими за правилом Крамера.
Розв’язок. Знаходимо:
,
,
,
.
Отже, згідно з (1.3) дістанемо:
, , .
Перевірка:
Отже, дана система рівнянь розв’язана вірно.
Слід звернути увагу, що при система має єдиний розв’язок. Якщо ж , то система може бути сумісною невизначеною або несумісною.
Однорідна система з лінійних алтебраїчних рівнянь з невідомими завжди має тривіальний (нульовий) розв’язок. Якщо визначник такої системи відмінний від нуля, то тривіальний розв’язок є єдиним розв’язком системи. Для того щоб система мала нетривіальний розв’язок, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю.
Питання для самоперевірки
1. Що називається визначником другого порядку?
2. Скільки рядків і скільки стовпців має визначник другого порядку?
3. Як позначаються елементи визначника?
4. Що зветься визначником третього порядку?
5. Скільки рядків і скільки стовпців має визначник третього порядну?
6. Скільки рядків і скільки стовпців має визначник го порядку?
7. Скільки елементів має визначник другого, третього, го порядку?
8. Що називається транспонуванням визначника?
9. Сформулюйте властивість транспонування визначника та його наслідки.
10. Сформулюйте й доведіть властивість визначника, один з рядів якого складається з нулів.
11. Сформулюйте властивість про перестановку паралельних рядів визначника.
12. Сформулюйте й докажіть властивість визначника, усі елементи якого мають спільний множник.
13. Сформулюйте й докажіть властивість визначника, відповідні елементи двох паралельних рядів якого дорівнюють або пропорційні один одному.
14. Сформулюйте властивість визначника, усі елементи одного з рядів якого являють собою суми двох доданків.
15. Сформулюйте і доведіть властивість про додавання до елементів одного з рядів визначника відповідних елементів паралельного ряду, помножених на один і той же множник.
16. Сформулюйте властивість визначника, усі елементи будь-якого ряду якого, крім одного, дорівнюють нулю.
17. Ща зветься мінором го порядку визначника го порядку?
18. Що має назву алгебраїчного доповнення елемента визначника?
19. Виведіть формулу розкладання визначника за елементами будь-якого ряду.
20. Чому дорівняє сума добутків елементів будь-якого ряду визначника та алгебраїчних доповнень відповідних елементів іншого паралельного раду?
21. Як обчислити визначник го порядку?
22. Як знизити порядок визначника го порядку?
23. Як знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь згідно з правилом Крамера?
24. Чи раціонально розв’язувати систему за правилом Крамера? Обгрунтуйте.
25. Який з методів є більш загальним: метод Гаусса чи правило Крамера? Обгрунтуйте.
26. Як виявити згідно з правилом Крамера, чи є система сумісною, несумісною, визначеною, невизначеною?
27. Коли однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими має нетривіальний розв’язок?
Л і т е р а т у р а: [І, §1,2,4 або 2, гл. 5, §1,2; 3, № 202-210, 213, 214, 218-223; 4, гл. 3 № 1.1-1.27,1.45-1.50, 4.1-4.17].
1.3. Матриці та дії над ними.
Матриця - це впорядкована таблиця чисел, що має рядків та стовпців. Матриця записується в вигляді такої таблиці в круглих дужках і позначається як правило прописними латинськими літерами:
.
Зверніть увагу на різницю між матрицею та визначником: визначник - це деяка величина, яку позначають у вигляді квадратної таблиці, матриця - це завжди таблиця чисел, ніяк по іншому не представима.
Як і в визначниках, числа - елементи матриці, де - номер рядка, - номер стовпця, у яких розміщений даний елемент.
Числа та визначають розміри матриці. Якщо , то матриця прямокутна, якщо , то матриця квадратна порядку . Квадратна матриця має свій визначник, який позначається або .
Квадратна матриця, у якій відмінні від нуля лише елементи, що знаходяться на діагоналі з елементом , має назву діагональної. Якщо усі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то маємо одиничну матрицю, яка відіграє роль одиниці у матричному численні. Роль нуля відіграє нульова матриця, тобто матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю.
Наприклад:
- прямокутна матриця розмірності ;
- квадратна матриця другого порядку;
- діагональна матриця третього порядку;
- одинична матриця третього порядку;
- нульова матриця розмірності ;
- матриця-стовпець;
- матриця-рядок.
Дві матриці та з однаковими розмірами вважаються рівними, коли їхні відповідні елементи рівні, тобто коли , , . У цьому випадку пишуть .
Матриці можна транспонувати, множити на число, додавати, множити на матрицю.
Транспонувати - це означає зробити рядки матриці стовпцями з тими ж номерами, а стовпці - рядяками. Матрицю, транспоновану до матриці , позначають .
Щоб помножити матрицю на число, досить кожний елемент матриці помножити на це число.
Сума двох матриць є матриця, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць-доданків. З означення витікає, що додавати можна лише матриці однакових розмірів. Суму матриць та позначають .
У той же спосіб визначають різницю двох матриць та .
Означені вище матриці мають усі властивості додавання й множення чисел:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
Тут , - числа; , , - матриці.
Приклад 1.6. Дано матриці:
, .
Знайти , , , .
Розв’язок.
.
.
Суму отримати неможливо. Чому?
Дещо складніше визначають добуток двох матриць та .
За означенням добуток матриць та є матриця , елемент якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів го рядка матриці та го стовпця матриці .
Із означення витікає, що помножити матрицю на матрицю можна лише у випадку, коли кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці Щоб отримати й рядок добутку, необхідно помножити й рядок матриці на кожний стовпець матриці .
Таким чином, якщо
, ,
то
.
Як бачимо, якщо матриця має розміри , а матриця - розміри , то матриця має розміри , тобто добуток двох матриць є матриця, кількість рядків якої дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців - кількості стовпців другої матриці.
Очевидно, по перестановчий закон у загальному випадку не має місця: . Навіть не завжди існують та .
Матриці, для яких діє перестановчий закон, мають назву переставних. Так, якщо - квадратна матриця го порядку, а - одинична матриця го порядку, то . Перевірте!
Множення матриці на матрицю має такі властивості:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Приклад 1.7. Знайти добутки та , якщо:
, .
Розв’язок.
.
.
Отже, матриці-добутки та не тільки не рівні, але навіть piзної розмірності.
Важливим поняттям матричного числення є поняття оберненої матриці. Обернена матриця до квадратної невиродженої матриці є матриця така, що , де - одинична матриця.
Обернена матриця для невиродженої квадратної матриці
.
може бути знайдена за формулою
,
де - визначник матриці ; - алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці ( ).
Приклад 1.8. Дана матриця
.
Обчислити обернену матрицю .
Розв’язок. Знаходження оберненої матриці можна умовно розділити на п’ять етапів.
1-й етап:
,
тобто icнyє.
2-й етап:
, , ,
, , ,
, , ,
3-й етап:
.
4-й етап:
.
5-й етап:
.
Зробимо пepeвipкy:
.
Матричне числення дуже ефективно використовують в теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Систему (1.1) за допомогою матриць можна записати більш коротко:
,
де
, , .
Тут - матриця системи; - матриця-стовпець невідомих; - матряця-стовпець правих частин рівнянь.
Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь має рівнянь та невідомих та її матриця невироджена, то розв’язок системи можна подати у вигляді
.
Приклад 1.9. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою оберненої матриці:
Розв’язок. Систему перепишемо у матричній формі:
або
,
де
, , .
Знаходимо обернену матрицю:
,
звідки
,
або , , .
Питання для самоперевірки
1. Що зветься матрицею?
2. Як називаються величини, з яких складена матриця?
3. Як позначають елементи матриці?
4. Де розташовані елементи , , матриці?
5. Які матриці мають назви прямокутних, квадратних?
6. Які матриці звуться діагональними, скалярними, одиничними?
7. Які матриці мають назву нульових?
8. Коли дві матриці вважаються рівними?
9. Яка матриця називається транспонованою до даної матриці?
10. Що зветься визначником квадратної матриці?
11. Чи можна говорити про визначник прямокутної матриці? Обгрунтуйте.
12. Що зветься мінором го порядку матриці?
13. Що має назву ранга матриці?
14. Як визначають ранг матриці?
15. Як помножити матрицю на число?
16. Як знайти алгебраїчну суму двох матриць?
17. Які матриці можна додавати, віднімати?
18. Як помножити матрицю на матрицю?
19. Які матриці можна перемножувати?
20. Чи виконується переставна властивість для добутка двох матриць?
21. Яка матриця зветься неособливою або невиродженою?
22. Яка матриця має назву оберненої до заданої матриці та як її позначають?
23. Які матриці мають обернену?
24. Яка матриця зветься союзною або приєднаною до заданої матриці?
25. Чи раціонально використовувати союзну матрицю для знаходження оберненої? Обгрунтуйте.
26. Як записати систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими у матричній формі?
27. Як записати розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими у матричній формі?
28. Розв’язок яких систем можна записувати у матричній формі?
29. Чи раціонально знаходити розв’язок системи за допомогою оберненої матриці? Обгрунтуйте.
Л і т е р а т у р а: [І, §3,15 або 2, гл. 5, §1,3,5; 3, № 216,276-282; 4, гл. 3 № 2.1-2.44].
1.4. Вектори та дії над ними.
Слід розрізняти геометричну і координатну форми векторів. У геометричній формі - це спрямований відрізок, напрямок якого співпадає з напрямком векторної величини, а довжина у вибраному масштабі дорівнює числовому значенню векторної величини, яку цей вектор зображає. Напрямок вектора вказують стрілкою.
Позначають вектор однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею або двома великими літерами латинського алфавіту зі стрілкою над ними, причому перша літера зображує початок, а друга кінець вектора. Наприклад: або (рис.1.1.). У книгах часто стрілку замінюють жирним шрифтом. Треба мати це на увазі.
Модуль вектора це його довжина у вибраному масштабі. Позначають модуль вектора таким же чином, що й вектор, тільки позначення вектора міститься між вертикальними рисочками (знаком модуля). Наприклад, або .
Два вектори вважаються рівними, якщо їх можна сумістити паралельним перенесенням, тобто якщо вони паралельні, однаково спрямовані та мають однакову довжину (рис. 1.2).
Звідси витікає, то вектор можна переносити паралельно самому собі у будь-яку точку простору.
Роль нуля у векторній алгебрі відіграє нульовий вектор, тобто вектор, довжина якого дорівнює нулю (кінець вектора співпадає з його початком). Необхідно запам’ятати, що нульовий вектор не має
визначеного напрямку, його напрямок можна вибрати довільним чином.
Часто у векторній алгебрі використовують поняття протилежних, колінеарних й компланарних векторів.
Протилежні вектори - це два паралельні вектори, шо мають однакову довжину і протилежні напрямки (рис. 1.З). Їх позначають так: або .
Колінеарні вектори - це вектори, паралельні між собою або ті що лежать на одній або на паралельних прямих. Наприклад вектори , , , на рис. 1.4.
Компланарні вектори - це вектори, що лежать у одній або паралельних площинах. Наприклад, вектори , , , на рис. 1.5.
Вектори можна додавати, віднімати, множити скалярно і векторно. Крім того, у векторній алгебрі розглядають мішаний та подвійний добутки трьох векторів.
При вивченні дій над векторами особливу увагу слід звернути на їх застосування.
Сума векторів , , ..., у геометричній формі є вектор, початок якого співпадає з початком першого вектора, а кінець - з кінцем останнього вектора за умовою, що вектори побудовані так, що кінець першого вектора співпадає з початком другого, кінець другого - з початком третього і т.д.
На рис.1.6 показана сума трьох векторів , і .
Сума векторів має такі властивості:
1. ;
2. .