Раздел 2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ 2 страница

Примеры решения задач

Пример 1.Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид , где , , . Для момента времени определить: 1) координату точки; 2) мгновенную скорость ; 3) мгновенное ускорение ; 4) среднюю скорость за промежуток времени с момента начала движения до .

Решение

1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения заданное значение времени :

.

Подставив в это выражение значения постоянных А, В, С, и , произведем вычисления: .

2. Уравнение, описывающее зависимость скорости от времени, найдем, продифференцировав координату по времени: . Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость .

Подставим сюда значения В, С, и произведем вычисления:

.

Знак минус в полученном значении скорости указывает на то, что в данный момент времени скорость материальной точки направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси X.

3. Функциональную зависимость ускорения от времени найдем, используя определение ускорения, как второй производной от координаты по времени:

.

Подставим значения С, и произведем вычисления

.

4. По определению, среднее значение скорости равно: , где S – путь, пройденный точкой за время .

Если в течение рассматриваемого промежутка времени скорость точки не изменяется по направлению, то

,

где x(t₁) и x(t₀) – координаты материальной точки в конечный и начальный моменты времени, соответственно.

В нашем случае в начальный момент времени с скорость точки равна 2 м/с, а в момент времени скорость - . Следовательно, в некоторый момент времени скорость точки обращается в нуль, т.е. в этот момент времени материальная точка изменяет направление своего движения. Тогда весь путь, пройденный точкой, можно представить в виде: , где - путь, пройденный точкой до остановки, а - путь, пройденный в обратном направлении.

Найдем момент времени, в который скорость точки равна нулю: .

Отсюда . Подставив численные значения, получим: =1,155 с.

Тогда =7,08 м,

=4 м,

Cледовательно, S=(7,08-4)+(7,08-4)=6,16 м, средняя скорость <v> =3,08 м/с.

Пример 2. Тело массой 10 кг движется вверх по наклонной плоскости. На тело действует сила F=100 Н, направленная вверх под углом = к поверхности наклонной плоскости. Коэффициент трения =0,1. Угол наклона плоскости = . Определить ускорение, с которым движется тело.

Решение

При движении тела кроме силы на него действуют также: сила тяжести - , сила реакции опоры - и сила трения - , показанные на рисунке.

Ускорение тела определим, используя основной закон динамики, который в векторной форме в условиях данной задачи имеет вид:

(1)

Направим ось X вдоль наклонной плоскости в сторону движения тела, а ось Y - перпендикулярно к ней.

Запишем уравнение (1) в проекциях на выбранные оси координат.

На ось X: (2)

на ось Y: (3)

По определению силы трения: .

Силу реакции опоры найдем из уравнения (3):

.

Тогда .

Подставим это выражение в (2) и получим рабочую формулу: .

Проведя подстановку данных и вычисления, найдем: а=3,3м/с².

Пример 3. К ободу однородного диска радиусом 0,2 м, вращающегося вокруг своей оси, приложена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением =100 .

Решение

Известно, что момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, равен: .

Отсюда масса диска: (1)

Воспользовавшись законом динамики вращательного движения твердого тела, найдем момент инерции J:

, (2)

где М - результирующий момент сил, под действием которого вращается диск. Запишем уравнение (2) в проекции на ось вращения (с учетом направлений моментов).

. (3)

Здесь – момент силы F относительно оси вращения.

Подставляя (2) и (3) в (1), находим:

.

Проведя необходимые расчеты, получим: m=7,36 кг.

Пример 4. Два свинцовых шара массами =2 кг и =3 кг подвешены на нитях длиной L=70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол и отпустили. Считая удар центральным и неупругим, определить: 1) высоту h, на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию , израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Решение

Проведем анализ движения тел в данной задаче. Движение шаров можно разбить на три этапа.

На первом этапе (до соударения) шар массой m₁ движется под действием только консервативных сил (сила трения отсутствует). Следовательно, на этом участке движения выполняется закон сохранения механической энергии:

, (1)

где - начальная высота, на которой находился отклоненный шар, - скорость этого шара непосредственно перед ударом.

Второй этап – неупругое соударение шаров, при котором выполняется закон сохранения импульса:

,

где и - скорости шаров до удара, - скорость шаров, движущихся как единое целое, непосредственно после удара.

С учетом того, что , получим:

. (2)

Из уравнения (2) очевидно, что скорость шаров сразу после удара будет направлена вдоль оси Х, так же как и скорость первого шара непосредственно перед соударением. Поэтому, уравнение (2) в проекциях на ось Х будет иметь вид:

. (3)

На третьем этапе движения шаров после удара снова выполняется закон сохранения механической энергии:

. (4)

Отсюда искомая высота .

Используя уравнения (3) и (1), получим: ,

.

Тогда .

Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе:

. (5)

Проведя подстановку и преобразования, получим:

.

Вычислим: 1) h=0,056 м; 2) =4,12 Дж.

Пример 5.Кинетическая энергия Е_к электрона равна . Определить скорость электрона, его релятивистские массу и импульс, а также полную энергию.

Решение

Кинетическая энергия релятивистской частицы равна:

, (1)

где - полная энергия, - энергия покоя частицы (в нашем случае – электрона), кг - масса покоя электрона; - его релятивистская масса, , м/с - скорость света.

Последовательная подстановка этих величин в (1) приводит нас к формуле:

.

Выполнив преобразования относительно , найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света :

. ( 2 )

Расчет энергии покоя дает величину:

(Дж).

Подставив числовые значения и Е_к в формулу (2), получим .

Так как , то получим: .

Найдем релятивистские массу m, импульс p и полную энергию Е:

кг,

Дж.

Пример 6. Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц вдоль оси Х. Амплитуда колебаний 3 см. Определить: 1) скорость точки в момент времени, когда смещение х=1,5 см; 2) максимальную силу, действующую на точку.

Решение

1. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

. (1)

По определению, скорость точки равна первой производной по времени от смещения:

. (2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат:

, (3)

. (4)

Из уравнений (3) и (4) выразим , . Воспользовавшись известным соотношением , получим:

.

Так как , тогда

.

Решая последнее уравнение относительно v, найдем:

.

Вычисляя, получим v=±8,2 м/с.

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси Х, знак минус - когда направление скорости противоположно.

2. Силу, действующую на точку, найдем, используя второй закон Ньютона:

F = ma, (3)

где а - ускорение точки.

По определению:

или: .

Подставим это выражение в (3) и получим:

.

Отсюда максимальное значение силы

(при ):

.

Подставим в это уравнение значения величин , , m, А и найдем .

Пример 7.На концах тонкого стержня длиной 1 м и массой М=400г укреплены шарики малых размеров массами m₁=200 г и m₂=300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис.). Определить период колебаний, совершаемых стержнем.

Решение

Период колебаний физического маятника, каковым является стержень с шариками, определяется соотношением:

, (1)

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; m - его масса; а - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

В силу аддитивности, момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции J₁ и J₂ шариков и стержня J₃:

J = J₁+J₂+J₃. (2)

Принимая шарики за материальные точки, запишем их моменты инерции: ; .

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси . Подставив полученные выражения J₁, J₂ и J₃ в формулу (2), найдем общий момент инерции физического маятника:

.

Произведя вычисления по этой формуле, найдем J = 0,158 .

Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

m = m₁+m₂+М = 0,9 кг.

Расстояние от центра масс маятника до оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось Х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние равно координате центра масс маятника , т.е.

,

или .

Подставив значения величин m₁, m₂, m, L и произведя вычисления, найдем: а= м.

Произведя расчет по формуле (1), получим период колебаний физического маятника: Т=3,57 с.

Пример 8. В баллоне объемом 10 литров находится гелий под давлением 1 МПа при температуре 300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой 10 г, температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить 1) давление гелия, оставшегося в баллоне; 2) его плотность; 3) количество оставшихся в баллоне молекул гелия; 4) их концентрацию.

Решение

1. Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному и конечному состояниям газа:

;

.

Выразим из этих уравнений массы m₁ и m₂ гелия и найдем их разность:

; .

.

Из последнего уравнения выразим искомое давление:

.

Молярная масса гелия (Не) равна кг/моль , R=8,31 Дж/(моль К) – молярная газовая постоянная.

Подставив данные и проведя расчет, найдем давление

=364 10³ Па.

2. Плотность вещества, по определению, равна . Выразим эту величину из исходного уравнения для второго состояния системы:

.

После подстановки данных и проведения расчета получим:

кг/м³.

3. Количество молекул, оставшихся в баллоне, равно: , где моль^-1 – число Авогадро. Количество вещества , оставшегося в баллоне газа, выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона для второго состояния системы:

.

Тогда, искомое число молекул:

.

После подстановки данных и проведения расчета получим:

.

4. Концентрация молекул по определению равна: , тогда:

.

После подстановки данных и проведения расчета получим:

.

Пример 9. Кислород, находящийся в состоянии 1 при давлении =0,5 МПа, температуре =350 К и занимающий объем =1л, перевели в состояние 2, подвергнув адиабатическому расширению до объема =2 л. Затем изобарно объем газа был увеличен до =3 л. В состояние 4 кислород был переведен путем изотермического увеличения объема в два раза. После этого последовал изохорный нагрев на = 150К, который перевел газ в пятое состояние. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

Решение

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, полученное газом, расходуется на изменение внутренней энергии газа ( ) и совершение газом работы (А) против внешних сил:

. (1)

Параметры состояния 1 известны из условия задачи: =0,5 Па, = 1^.10 м , =350 К.