Случай независимой переменной

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:

где при .

Замечание

Геометрический смысл дифференциала

На рис. 50 изображен график некото­рой дифференцируемой функции f (х) в окрестности точки х0. Выражения ∆x, f (х0), f(х0+∆х) и ∆f=f(х0+∆х)-f(х0) геометрически означают соответственно длины

Инвариантность формы записи

Инвариантность формы записи дифференциалов первого порядка

Пример

Инвариантность формы записи дифференциалов второго порядка

Однако, уже для второго порядка, это не верно:

Упс! Инвариантности нет.

Формула Лейбница

.

где - биномиальные коэффициенты:

Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам.

11.Вопрос.Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Теорема

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

1. .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема Коши

Таблица дифференциалов

12.Вопрос.Применение дифференциалов в приближённых вычислениях значений функций. Дифференциалы высших порядков .Примеры.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях формулы:

Дифференциалы высших порядков

Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Первый дифференциал функции

где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению

. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле