Акупунктура мета-математики
С чего же следует начинать такой анализ? Вспомним, что уже наши далекие предки в совершенстве владели таким уникальным и эффективным терапевтическим методом, который сегодня называется методом акупунктуры. Суть этого метода, как известно, заключается в практическом использовании следующего универсального, почти кибернетического принципа. А именно: в любой сложной системе (например, в человеке или социуме) имеются так называемые узкие места, или аттракторы, или акупунктурные точки, обладающие тем уникальным свойством, что даже самые слабые воздейстия на них способны вызывать существенные, а нередко (при неквалифицированном вмешательстве) и катастрофические изменения в состоянии и поведении всей сложной системы (живой, технической, финансовой, социальной, политической и т.д.) в целом.
Вот этим древним методом мы и воспользуемся. Что является акупунктурной точкой современной метаматематики? Несомненно - знаменитая теорема Георга Кантора о несчетности множества всех действительных чисел. Эта теорема является единственным "легитимным" поводом, который позволяет современным метаматематикам глубокомысленно вещать о существенном различии бесконечных множеств по их мощности, то есть по количеству содержащихся в них элементов (а всем остальным, реально "практикующим" математикам - покорно внимать и не менее глубокомысленно поддакивать). Уберите-запретите всего лишь одну эту теорему Кантора, и разговор о различении бесконечностей станет беспредметным, а сама метаматематика потеряет всякую привлекательность даже для своих собственных, самых "отпетых" приверженцев.
Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы.
Как известно, Кантор доказал свою теорему в 91-м году уже почти позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая логика и аксиоматическая теория множеств ничего нового к этому доказательству не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня. Однако сами-то эти направления оформились как самостоятельные дисциплины примерно в 30-х годах уже XX века, то есть почти через полвека после того, как Кантор доказал свою теорему! Следовательно, и сама эта теорема, и ее доказательство не имеют никакого отношения к устрашающим образом "бурбакизированным" способам "рассуждений", практикуемых сегодня в рамках упомянутых дисциплин.
Остается подозрение, что доказательство теоремы Кантора представляет собой чисто математическое, но ужасно сложное сочинение, которое доступно далеко не каждому обладателю красного математического диплома. Увы, в действительности, не у всякого профессионального математика повернется язык назвать математической работу, в которой, как, например, в теореме Кантора, используются всего лишь три понятия элементарной (школьной, то есть доступной каждому образованному гуманитарию) математики - понятия натурального числа, действительного числа и последовательности таких чисел.
Что же остается? Может быть канторовское доказательство представляет собой трактат аж на 100 страниц, как, например, решение знаменитой математической проблемы четырех красок? Или на 1000 страницах, как знаменитое доказательство Великой теоремы Ферма, недавно анонсированное американским математиком Вайлсом? Ничего подобного! Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего... 10 строчек! Я не оговорился, всего десять строчек, написанных на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!
Я полагаю, что Брауэр немного не закончил свою мысль (см. выше): действительно, "грядущие поколения придут в ужас".., но только от "смущения" за своих математических предшественников, которые под гипнозом этих, всего-то десяти строчек, на целых сто лет и добровольно передали свою, по Гауссу, "королеву всех наук" в услужение коварному "бурбакизму"... Прямо-таки, сказочно-научно-фантастический триллер.