Тема 8. Неопределенный интеграл

Содержание разделов дисциплины

Раздел 1. Элементарная математика.

Функции

Тема 1. Элементарные вычисления

Элементарные приближенные вычисления. Представление чисел в позиционной системе счисления. Правила округления чисел. Теория ошибок. Абсолютные и относительные ошибки. Приближение границы погрешности. Приближенные формулы. Элементарный приближенный графический метод. Полярные координаты. Параметрические уравнения линий.

Тема 2. Комбинаторика

Основные комбинаторные функции. Факториал и гамма-функция. Биномиальные коэффициенты. Полиномиальный коэффициент. Формула бинома Ньютона. Формула полинома. Постановка задач комбинаторики. Перестановки. Группа перестановок k элементов. Перестановки с неподвижной точкой. Перестановки с заданным числом циклов. Перестановки с повторениями. Размещения. Размещения с повторениями. Сочетания. Сочетания с повторениями.

Тема 3. Конечные последовательности, суммы, произведения, средние значения

Обозначения сумм и произведений. Конечные последовательности (арифметическая и геометрическая прогрессии). Некоторые конечные суммы. Средние значения.

Тема 4. Функции

Постоянные и переменные величины. Понятие функции. Простейшие функциональные зависимости. Способы задания функции. Понятие функции от нескольких переменных. Понятие неявной функции. Понятие обратной функции. Классификация функций одного аргумента. Графики основных элементарных функций. Интерполирование функций. Непрерывность функции. Приращения аргумента и функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Раскрытие неопределенностей. Классификация точек разрывности функций.Непрерывность функции Приращение аргумента и функции. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях. Раскрытие неопределенностей. Классификация точек разрыва функции.

Раздел 2. Теория пределов.

Производная

Тема 5. Теория пределов

Действительные числа. Погрешности приближенных чисел. Предел функции. Односторонние пределы функции. Предел последовательности. Бесконечно малые. Бесконечно большие. Основные теоремы о бесконечно малых. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела функции. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге. Число е. Понятие о натуральных логарифмах. Понятие об асимптотических формулах.

Тема 6. Производная, основные теоремы и приложения производной

Задача о касательной. Задача о скорости движения точки. Общее определение производной. Применения производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Понятие о бесконечной производной. Производные от некоторых простейших функций. Основные правила дифференцирования функций. Формулы дифференцирования. Производные высших порядков. Приложения производных. Формула Тейлора. Бином Ньютона. Экстремум функции одной переменной. Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба. Построение графиков функций.

Раздел 3. Дифференциальное и интегральное исчисления

Тема 7. Дифференциал

Понятие о дифференциале функции Связь дифференциала функции с производной. Функции действительного переменного. Определение, геометрическая и физическая интерпретация первой производной. Производные высших порядков. Приближенное вычисление малых приращений функции. Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Экстремумы функций многих переменных.

Тема 8. Неопределенный интеграл

Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица простейших неопределенных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Понятие об основных методах интегрирования. Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем и простейших иррациональностей. Интегрирование тригонометрических и некоторых трансцендентных функций. Теорема Коши.