Погрешность косвенных измерений.

Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений, следует проанализировать источник этих погрешностей.

Пусть физическая величина Y есть функция непосредственно измеряемой величины х,
Y = f(x).

Величина х имеет погрешность Dх. Именно эта погрешность Dх – неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y, являющейся функцией f(x).

Приращение Dх аргумента х определяет собой приращение функции .

Погрешность аргумента Dх косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность , где Dх – погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.

Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно
измеряемых величин , то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента xi, получим:

Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать
погрешность результата косвенных измерений .
(Эта формула доказывается в теории ошибок [3,4,5].)
В реальных измерениях относительная точность различных величин хi может сильно отличаться. При этом, если для одной из величин xm выполняется неравенство , где i=1,…,m-1,m+1,…,n, то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины DY определяется погрешностью Dxm:

Общие положения корреляционного анализа

Корреляционный анализ – это один из наиболее простых методов математической статистики, позволяющий качественно предсказывать изменения y при изменяющихся значениях x_j (устанавливать связь между этими случайными величинами).

Если каждому значению x_j соответствует всегда строго определенное значение y, то считают, что между этими величинами существует функциональная связь, т.е. зависимость j является функциональной. При наличии и знании такой связи можно точно предсказывать величину y, задавая конкретное значение x_j.

Однако на практике функциональные связи обнаруживаются очень редко, поскольку на все результаты измерений оказывают влияние различные случайные факторы.

В большинстве случаев, задавая конкретное значение x_j, можно предсказать лишь тенденцию изменения y. Эта тенденция обнаруживается лишь при достаточно большом числе m_j различных значений (уровней) изменяемого фактора x_j, а при малых величинах m_j данная тенденция может не наблюдаться (рис. 3).

Рис. 3 – Влияние числа значений х (m) на тенденцию изменения y: 1 – тенденция изменения y при m = 8, 2 – тенденция изменения y при m = 3

Связь между y и x, представленная на рис. 3, называется корреляционной (стохастической). Чем больше корреляционная связь соответствует функциональной связи, тем более тесной (сильной) она считается.

Корреляционная связь имеет два крайних предельных случая: функциональная связь (самая тесная зависимость y от x_j) и полное отсутствие связи (отсутствие влияния x_j на y).

Наличие между y и x_j корреляционной или функциональной связи устанавливается только в результате проведения корреляционного анализа.

При корреляционном анализе отражают следующие выводы в форме слов:

наличие связи между y и x_j ("есть" или "нет" и др.);

характер связи ("функциональная" или "корреляционная") и ее тип ("линейная", "нелинейная", "экспоненциальная", "параболическая", "синусоидальная" и др.);

знак связи: "положительная" – если с увеличением величины значений x_j растет величина y; "отрицательная" – если с уменьшением величины значений x_j снижается величина y;

теснота (сила) корреляционной связи ("очень тесная", "тесная", "не очень тесная", "очень сильная", "сильная", "слабая" и др.).

Корреляционный анализ проводят двумя методами: анализируя поле корреляции (визуальный анализ) и анализируя коэффициенты линейной корреляции.

Анализ поля корреляции. Полем корреляции называют выполненный на плоскости в системе двух прямоугольных координат y и х рисунок (график), на котором приведены точки с координатами y_v и x_v (у – номер уровня фактора х от 1 до m). Пример поля корреляции одного свойства объекта (y) и одного фактора (х) приведен на рис. 4.

Рис. 4 – Поле корреляции выхода пентозанов к времени гидролиза березовых опилок

Анализ поля корреляции проводится визуально. Для облегчения анализа рекомендуется весь массив точек с координатами y_v и x_v (на рис. 4 приведены точки с координатами y₁ и х₁, y₂ и х₂, y₃ и х₃, ..., y_v и х_v, ..., y₈ и х₈) обвести замкнутым контуром. Характер этого контура помогает более точно сделать все выводы корреляционного анализа. Например, чем больше контур приближается к форме окружности, тем выше вероятность отсутствия связи между y и x.

Метод анализа поля корреляции не является достаточно точным в основном из-за влияния на вид поля корреляции выбранного масштаба координатных осей y и x. Однако при корреляционном анализе – это единственный метод определения характера нелинейной связи между y и х.