Задачи к контрольным заданиям 3 страница

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ:

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение ;

2.

3.

4. ;

5. ;

6. ; ;

.

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория точки – прямая линия, то и, следовательно, . Найденное по величине и направлению ускорение равно ускорению .

Если траектория точки – окружность, то , где R – радиус окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки найдена, то . Вектор направлен к центру окружности. Касательное ускорение , полное ускорение .

Задача К2

(тема: “Кинематика плоского механизма”)

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂, шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,8 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех риcyнках и точка K на рис. К2.7-К2.9 расположены в середине соответствующего стержня.

Определить величины, указанные в таблице в столбце "Найти". Найти также ускорение а_А точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение ɛ₁ = 10 с^-2.

Таблица К2

Номер условия	Углы	Дано	Найти
a°	b°	g°	j°	q°	w1 1/с	w4 1/с	uB м/с
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 - от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость u_В- от точки В к b.

Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Теорема сложения скоростей (метод полюса)
	Абсолютная скорость любой точки B тела равна векторной сумме скорости полюса и скорости точки B в относительном движении вокруг полюса A: . Вектор , модуль .
Теорема о проекциях скоростей
	Проекции абсолютных скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки, алгебраически равны. .

Метод мгновенного центра скоростей тела (МЦС)
Определение: МЦС тела называется точка подвижной плоскости, абсолютная скорость которой в данный момент времени равна нулю . МЦС тела находится на пересечении перпендикуляров, проведенных в двух точках тела к векторам абсолютных скоростей этих точек.
	Если точку взять за полюс, то приходим к выводу: абсолютные скорости точек тела соответствуют мгновенному повороту тела вокруг МЦС тела. , , , .

Пример К2. Механизм (рис. К2, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a = 120°, b = 60°, g = 90°, j = 0°, q = 30°. AD = DE, l₁ = 0,6 м, l₃ = 1,2 м, w₁ = 5 с^-1, ɛ₁ =8 с^-2.

Определить: и а_A.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К2, б) .

2. Определяем u_E. Точка Е принадлежит стержню AЕ. Чтобы найти u_E, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление u_E. По данным задачи можем определить

(1)

Направление найдем, учтя, что точка Е принадлежит одновременно стержню 0₂Е, вращающемуся вокруг О₂; следовательно, ^0₂Е. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем u_В. Точка В принадлежит стержню BD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить u_В, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная и , построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ; это точка С₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и Е (к и перпендикулярны стержни 1 и 4). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АЕ вокруг МЦС С₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку С₂D, соединяющему точки D и С₂, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₂D и С₂А, заметим, что DAС₂E - прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60°, и что С₂А = AE sin 30° = 0,5 АЕ = AD. Тогда DAС₂D является равносторонними С₂А = С₂D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Тогда, восставляяиз точек В и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₃ стержня BD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня BD вокруг центра С₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рис. К2, б видно, что ÐС₃DB = 30°, a ÐD С₃B = 90°, откуда С₃B = l₃ sin 30°, С₃D = l₃ cos 30°. Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем w₃. Так как МЦС стержня 3 известен (точка С₃), то

5. Определяем а_A. Так как ɛ₁ известно, то а_At=l₁ ɛ₁. Далее , или . Тогда . Произведя вычисления, получим а_А = 15,8 м/с².

Ответ: u_Е = 5,2 м/с, u_В = 1,7 м/с, w₃ = 2,9 с^-1, а_А = 15,8 /с².

Задача КЗ

Прямоугольная пластина (рис. КЗ.О-К3.5) или круглая пластина радиусом R = 60 см (рис. К3.6-К3.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью w, заданной в табл. КЗ (при знаке минус направление w противоположно показанному на рисунке). Ось вращения на рис. КЗ.О-КЗ.З и КЗ.8, КЗ.9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. К3.4-К3.7 ось вращения 0<9, лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

Таблица КЗ

Номер условия	w, 1/с	Рис.0-5	Рис. 6-9
b, см	s = AM = f(t)	l
	-2			R
				R
				R
	-4
	-3			R
				R
	-5			R
				R
	-5

По пластине вдоль прямой ВD (рис. КЗ.О-КЗ.5) или по окружности радиуса R, т.е. по ободу пластины (рис. К3.6-К3.9), движется точка М. Закон ее относительного движения, выражаемый уравнением s = AM = f(t) (s - в сантиметрах, t - в секундах), задан в табл. КЗ отдельно для рис. КЗ.О-К3.5 и для рис. К3.6-К3.9, при этом на рис. 6-9 s = AM и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры b и l. На всех рисунках точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А) .

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1с.

Указания. Задача КЗ - на сложное движение точки. При ее решении движение точки по пластине считать относительным, а вращательное движение самой пластины - переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить расчеты, следует изобразить точку М на пластине в том положении, в котором нужно определить ее абсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунках к задаче.

В случаях, относящихся к рис. К3.6-К3.9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

Пример КЗ. Шар радиуса R (рис. КЗ, а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону j = f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. КЗ, а дуговой стрелкой). По дуге большого круга ("меридиану") ADB движется точка М по закону s = АM= f₂(t); положительное направление отсчета расстояния s от А к D.

Дано: R = 0,5 м, j = -2t, s = (pR/6)(7t-2t²)( j -в радианах, s-в метрах, t- в секундах).

Определить: u_абс и а_абс момент времени t₁ = 1 с. Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным (АВ - относительная траектория точки), а вращение шара - переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам

(1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

(2)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге АDВ в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t = 1 с, получим . Toгда или . Изображаем на рис. КЗ, а точку в положении, определяемом этим углом (точка М₁).

Теперь находим числовые значения

где - радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t₁ = 1с, учитывая, что R = 0,5 м, получим

(3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор в противоположную сторону; вектор направлен к центру С дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. КЗ, а. Для наглядности приведен рис. КЗ, б, где дуга ADB совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем угловую скорость w и угловое ускорение Î переносного вращения: (шар вращается равномерно). Таким образом,

(4)

Знак указывает, что направление w противоположно положительному направлению отсчета угла j; отметим это на рис. КЗ, а соответствующей дуговой стрелкой.

Для определения найдем сначала расстояние h точки M₁ от оси вращения: h = R sin 30° = 0,25 м. Тогда в момент времени t₁ = 1 с,

учитывая равенства (4) , получим

(5)

Изображаем на рис. КЗ, а вектор с учетом направления w вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 60°, то численно в момент времени t₁ = 1 с [см. равенства (3) и (4)]

(6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ) повернув затем эту проекцию_в сторону w, т.е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление можно найти, учтя, что Изображаем вектор на рис. К3, а.