Подборка модели вида ARIMA (p,k,q) для ряда В

2.1. Определим, является ли исходный временной ряд стационарным. Для этого, в первую очередь, обратимся к графику ряда:

На первый взгляд ряд кажется стационарным. Чтобы убедиться в этом, проведем тест Дики-Фуллера и посмотрим на его результаты:

Расширенный тест Дики-Фуллера для B

включая один лаг для (1-L)B (максимальное значение равно 12)

объем выборки 98

нулевая гипотеза единичного корня: a = 1

тест с константой

модель: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e

коэф. автокорреляции 1-го порядка для e: -0,039

оценка для (a - 1): -1,62959

тестовая статистика: tau_c(1) = -10,1364

асимпт. р-значение 1,21e-019

с константой и трендом

модель: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e

коэф. автокорреляции 1-го порядка для e: -0,040

оценка для (a - 1): -1,63415

тестовая статистика: tau_ct(1) = -10,113

асимпт. р-значение 2,975e-020

P-value значительно меньше любого разумного уровня значимости, а значит, нулевая гипотеза Но теста Дики-Фулера о нестационарности ряда отклоняется. Ряд В является стационарным.

2.2. Обратим внимание на коррелограмму ряда В:

Обратим внимание на то, что между поведением графика ACF и PACF нет существенного различия. Это увеличивает вероятность того, что процесс будет описан одновременно MA-компонентой и AR-компонентой.

2.3. Непосредственное построение предположительной модели. Опираясь на предположение, что модель, скорее всего, должна содержать MA-компоненту и AR-компоненту, сгенерируем в первую очередь модель ARIMA (1,0,1) = ARMA (1,1):

Модель 4: ARMA, использованы наблюдения 1980:1-2004:4 (T = 100)

Зависимая переменная: B

Стандартные ошибки рассчитаны на основе Гессиана

	Коэффициент	Ст. ошибка	z	P-значение
const	99,9953	0,049329	2027,1110	<0,00001	***
phi_1	0,218113	0,195312	1,1167	0,26410
theta_1	-0,646726	0,153671	-4,2085	0,00003	***

Среднее зав. перемен	99,99557		Ст. откл. зав. перемен	1,181085
Среднее инноваций	-0,003485		Ст. откл. инноваций	1,074320
Лог. правдоподобие	-149,2059		Крит. Акаике	306,4117
Крит. Шварца	316,8324		Крит. Хеннана-Куинна	310,6291

		Действительная часть	Мнимая часть	Модуль	Частота
AR	Корень 1	4,5848	0,0000	4,5848	0,0000
MA	Корень 1	1,5462	0,0000	1,5462	0,0000

Обратим внимание на то, что лаг, связанный с AR-компонентой модели, оказался незначимым. Наше предположение оказалось неверным, и, возможно, имеет смысл отказаться от AR-компоненты в пользу большего числа лагов MA-компоненты модели. Сгенерируем новую модель ряда В, например, модель ARIMA (0,0,2) = MA (2):

Модель 5: ARMA, использованы наблюдения 1980:1-2004:4 (T = 100)

Зависимая переменная: B

Стандартные ошибки рассчитаны на основе Гессиана

	Коэффициент	Ст. ошибка	z	P-значение
const	99,995	0,0498668	2005,2438	<0,00001	***
theta_1	-0,416798	0,0994291	-4,1919	0,00003	***
theta_2	-0,125268	0,0990634	-1,2645	0,20604

Среднее зав. перемен	99,99557		Ст. откл. зав. перемен	1,181085
Среднее инноваций	-0,003100		Ст. откл. инноваций	1,072888
Лог. правдоподобие	-149,0738		Крит. Акаике	306,1477
Крит. Шварца	316,5683		Крит. Хеннана-Куинна	310,3651

		Действительная часть	Мнимая часть	Модуль	Частота
MA	Корень 1	1,6152	0,0000	1,6152	0,0000
	Корень 2	-4,9424	0,0000	4,9424	0,5000

Можем заметить, что последующие лаги компоненты MA также не улучшают качества модели. Уберем незначимые лаги вовсе и получим следующую модель:

Модель 6: ARMA, использованы наблюдения 1980:1-2004:4 (T = 100)

Зависимая переменная: B

Стандартные ошибки рассчитаны на основе Гессиана

	Коэффициент	Ст. ошибка	z	P-значение
const	99,9949	0,0564112	1772,6057	<0,00001	***
theta_1	-0,483229	0,0975609	-4,9531	<0,00001	***

Среднее зав. перемен	99,99557		Ст. откл. зав. перемен	1,181085
Среднее инноваций	-0,001273		Ст. откл. инноваций	1,081344
Лог. правдоподобие	-149,8473		Крит. Акаике	305,6946
Крит. Шварца	313,5101		Крит. Хеннана-Куинна	308,8577

		Действительная часть	Мнимая часть	Модуль	Частота
MA	Корень 1	2,0694	0,0000	2,0694	0,0000

В результате перехода к модели (6) удалось улучшить критерии Шварца и Акаике, а также избавиться от незначимых лагов. Обратим внимание также на коррелограмму остатков модели (6):

Все представленные остатки статистически незначимо отличаются от нуля, а значит, остатки данной модели описываются процессом белого шума, как и должно быть.

*Обратим внимание также на то, что попытка убрать константу из модели на стадии перебора моделей сразу привела к увеличению критериев Акаике и Шварца более чем в 3 раза, поэтому такая модель не была представлена.

Будем считать, что модель (6) ARIMA (0,0,1) = MA (1) наиболее удачно описывает динамику ряда В. Ряд В в результате будет описываться регрессией следующего вида:

3 - подборка модели вида ARIMA (p,k,q) для ряда С
(более сокращенное описание действий)

д