РОЗВ’ЯЗАННЯ СЛАР ТА ОЦІНКА ТОЧНОСТІ ОТРИМАНОГО НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
Після врахування граничних умов результуюча СЛАР буде повністю сформована і залишається знайти її розв’язок, наприклад використовуючи вбудовану функцію MATHCAD lsolve. Якщо були задані головні граничні умови, то, в силу вище описаного алгоритму їх врахування, потрібно ще також відповідним чином модифікувати вектор вузлових значень (див. функцію AddNodalValueOnLeftSide(a,g,U,N) на рис. 6.).
Оскільки для крайової задачі (20)-(21) при , , можна отримати точний розв’язок ( ), то тут же наведено його порівння з апроксимацією за МСЕ на сітці з чотирьох скінченних елементів.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Що таке нев’язка? У чому полягає основна ідея методу зважених нев’язок? Запишіть систему рівнянь методу зважених нев’язок.
2. У чому суть методу Гальоркіна як варіанта методу зважених нев’язок? Якими перевагами володіє метод Гальоркіна?
3. Здійсніть слабке формулювання методу Гальоркіна. Які переваги воно дає?
4. У чому полягають основні ідеї методу скінченних елементів?
5. Що таке умови гладкості на базисні функцій МСЕ? Чому базисні функції повинні задовільняти ці умови?
6. З яких етапів складається загальна схема розв’язування крайових задач методом скінченних елементів?
7. Які граничні умови називаються природними? Як вони виконуються в МСЕ?
8. Що таке головні граничні умови? Яким чином вони задовільняються в МСЕ?
ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
1. Ознайомитися з основними поняттями та етапами розв’язання крайових задач методом скінченних елементів.
2. Знайти розв’язок крайової задачі
,
, .
Індивідуальні завдання наведені в Додатку. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.
3. Побудувати графіки функцій отриманого наближеного розв’язку та заданого точного розв’язку крайової задачі.
4. Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи.
ЗМІСТ ЗВІТУ
1. Мета роботи.
2. Короткі теоретичні відомості.
3. Постановка задачі індивідуального завдання.
4. Оформлений належним чином (з коментарями, поясненнями та результатами) документ MATHCAD з програмою розв’язання завдання.
5. Аналіз результатів та висновки.
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. - 318 с.
2. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. –М.: Мир, 1977. – 349 с.
3. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. -К.: Наук.думка, 1989. - 272 с.
4. Савула Я.Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. –Львів: видавничий центр ЛНУ ім.Івана Франка, 2004. – 221 с.
5. В.Дьяконов. MATHCAD 8/2000: специальный справочник. – СПб: Питер,2001. -592 с.
ДОДАТОК