Математика 1.1», 1 курс, 1 семестр, ФТИ
Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия.
1. Определители n-го порядка, их свойства на примере определителей третьего порядка.
2. Матрицы, основные свойства и определения, основные операции с матрицами.
3. Ранг матрицы, его свойства и вычисление.
4. Понятие линейной зависимости и независимости.
5. Базисный минор, теорема о базисном миноре.
6. Элементарные преобразования матрицы.
7. Системы линейных уравнений, основные понятия и определения.
8. Теорема о совместности системы линейных уравнений, её следствия.
9. Схема нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
10. Нахождение решений СЛАУ методом Гаусса.
11. Нахождение решений СЛАУ методом Крамера.
12. Нахождение решений СЛАУ матричным методом.
13. Обратная матрица, её нахождение, теорема о существовании обратной матрицы.
14. Однородные системы линейных алгебраических уравнений(ОСЛАУ). Основные свойства её решений. Фундаментальная система решений, общее решение.
15. Основные понятия векторной алгебры, векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами.
16. Коллинеарные и компланарные векторы, равенство векторов. Орты, Линейные операции над векторами, основные свойства сложения векторов.
17. Умножение и деление вектора на скаляр. Законы умножения на скаляр.
18. Линейно зависимые и линейно не зависимые векторы. Основные теоремы о линейно зависимых векторах.
19. Базис. Разложение вектора по базису.
20. Теория проекций. Прямоугольные координаты. Проекции вектора на ось. Основные теоремы о проекциях.
21. Декартова система координат. Разложение вектора по координатным ортам. Радиус-вектор точки. Способы задания вектора в прямоугольной системе координат.
22. Направляющие косинусы вектора, их основные свойства.
23. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, вычисление и приложения.
24. Векторное произведение векторов, его основные свойства, вычисление, приложения. Физический и геометрический смысл векторного произведения векторов.
25. Векторно-скалярное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, вычисление и приложения.
26. Полярная система координат, связь между полярными и декартовыми координатами.
27. Преобразование систем координат. Параллельный перенос и поворот, основные соотношения.
28. Понятие уравнения линии на плоскости. Примеры задания линии на плоскости при помощи уравнений в декартовых и полярных координатах.
29. Прямая линия на плоскости. Вывод общего уравнения прямой и его исследование.
30. Направляющий вектор прямой. Канонические и параметрические уравнения прямых на плоскости и в пространстве. Уравнение прямой , проходящей через две точки.
31. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в R2.
32. Взаимное положение двух прямых на плоскости и в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости, и до плоскости в пространстве.
33. Кривые второго порядка. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы. Их параметрические и полярные уравнения.
34. Общее геометрическое свойство кривых второго порядка. Экцентриситет, директрисы. Преобразование систем координат. Собственные значения и собственные векторы матриц. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду.
35. Уравнение линий в пространстве. Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость. Общее уравнение плоскости в пространстве, его исследование. Основные задачи на составление уравнений плоскости.
36. Канонические уравнения прямой в пространстве. Общие уравнения прямой в пространстве. Связь между общими и каноническими уравнениями прямой в пространстве.
37. Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
38. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и параболоиды. Метод сечений.
39. Гиперболоиды. Построение этих поверхностей методом сечений.
40. Конические поверхности , цилиндрические поверхности. Задача о взаимном положении прямой и поверхности.