Multiple Regression - Col_2

Лабораторная работа № 3

Построение регрессионной модели системы двух случайных величин

Цель работы: изучить основные методы регрессионного и корреляционного анализа; исследовать зависимость между двумя случайными величинами, заданными выборками.

Задание: по виду корреляционного поля сделать предположение о форме регрессионной зависимости между двумя случайными величинами; используя метод наименьших квадратов, найти параметры уравнения регрессии; оценить качество описания зависимости полученным уравнением регрессии.

Пример.По результатам пятнадцати совместных измерений веса грузового поезда, т, и соответствующего времени нахождения поезда на участке Y, ч, представленных в таблице 4.3, следует исследовать зависимость между данными величинами.

Необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов, оценить тесноту связи между величинами, проверить значимость коэффициента корреляции и спрогнозировать время нахождения поезда на участке при заданном весе поезда (5200 т).

Решение. На величину времени нахождения поезда на участке Y, помимо веса X, влияние оказывает качество железнодорожного полотна, качество подвижного состава, топливо и другие факторы. Поэтому зависимость между величиной времени нахождения поезда на участке Y и веса поезда X является статистической: при одном весе поезда при различных дополнительных условиях время нахождения поезда на участке может принимать различные значения.

Для определения вида регрессионной зависимости построим корреляционное поле.

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Рисунок 4.1– Корреляционное поле

Построение линейной модели

Характер расположения точек на диаграмме рассеяния позволяет сделать предположение о линейной регрессионной зависимости Multiple Regression - Col_2 - student2.ru .

Таблица 3.1 – Результаты промежуточных вычислений

Вес грузового состава, т, Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Время нахождения поезда на участке, час., Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru
5100,58 4,2 327,019 106941,2 0,14007 0,01962 45,8044
4885,41 4,078 111,849 12510,12 0,01807 0,00033 2,02073
5416,94 4,23 643,379 413936,1 0,17007 0,02892 109,417
4496,66 4,001 -276,901 76674,35 -0,0589 0,00347 16,3187
4722,08 4,044 -51,4813 2650,328 -0,0159 0,00025 0,82027
5537,91 4,208 764,349 584228,9 0,14807 0,02192 113,175
5074,01 4,11 300,449 90269,4 0,05007 0,00251 15,0425
4807,09 4,062 33,5287 1124,171 0,00207 0,000043 0,06929
4046,02 3,85 -727,541 529316,4 -0,2099 0,04407 152,735
4683,93 4,037 -89,6313 8033,776 -0,0229 0,00053 2,05555
4872,42 4,08 98,8587 9773,036 0,02007 0,0004 1,98376
4003,22 3,9 -770,341 593425,8 -0,1599 0,02558 123,203
4628,01 4,03 -145,551 21185,19 -0,0299 0,0009 4,35684
4293,44 3,96 -480,121 230516,5 -0,0999 0,00999 47,9801
5035,7 4,109 262,139 68716,68 0,04907 0,00241 12,8623
Итого 71603,42 60,899 0,1609 647,845

Найдем уравнение прямой линии методом наименьших квадратов Multiple Regression - Col_2 - student2.ru .

Средний вес грузового состава:

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru = Multiple Regression - Col_2 - student2.ru .

Среднее значение времени нахождения поезда на участке:

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru = Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Коэффициенты уравнения:

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Уравнение регрессии имеет вид : Multiple Regression - Col_2 - student2.ru .

Для линейной связи коэффициенты:

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru - постоянная регрессии, показывает точку пересечения прямой с осью ординат

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru - коэффициент регрессии, показывает меру зависимости переменных y от х, указывает среднюю величину изменения переменной у при изменении х на одну единицу, знак В1 определяет направление этого изменения .

Вычислим линейный коэффициент корреляции

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru = Multiple Regression - Col_2 - student2.ru .

Таблица 3.2 – Расчет значений времени нахождения поезда на участке по уравнению регрессии

Вес грузового состава, т, Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Время нахождения поезда на участке, час., Multiple Regression - Col_2 - student2.ru Multiple Regression - Col_2 - student2.ru
5100,58 4,2 4,137
4885,41 4,078 4,0863
5416,94 4,23 4,2115
4496,66 4,001 3,9947
4722,08 4,044 4,0478
5537,91 4,208 4,24
5074,01 4,11 4,1307
4807,09 4,062 4,0678
4046,02 3,85 3,8885
4683,93 4,037 4,0388
4872,42 4,08 4,0832
4003,22 3,9 3,8784
4628,01 4,03 4,0256
4293,44 3,96 3,9468
5035,7 4,109 4,1217
Итого 71603,42 60,899 60,899

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Рисунок 3.2 – Корреляционное поле и линия регрессии

Спрогнозируем время нахождения поезда на участке при заданном весе грузового состава (5200 т).

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Качественная оценка тесноты связи между величинами выявлена по шкале Чеддока (таблица 3.3).

Таблица 3.3 - Шкала Чеддока

Теснота связи Значение коэффициента корреляции при наличии
прямой связи обратной связи
Слабая 0,1–0,3 (-0,1)–(-0,3)
Умеренная 0,3–0,5 (-0,3)–(-0,5)
Заметная 0,5–0,7 (-0,5)–(-0,7)
Высокая 0,7–0,9 (-0,7)–(-0,9)
Весьма высокая 0,9–0,99 (-0,9)–(-0,99)

Multiple Regression - Col_2

Dependent variable: Col_2

Independent variables:

Col_1

    Standard T  
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
CONSTANT 2,93509 0,0727762 40,3304 0,0000
Col_1 0,00023564 0,0000151847 15,5182 0,0000

Analysis of Variance

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
Model 0,152658 0,152658 240,81 0,0000
Residual 0,008241 0,000633923    
Total (Corr.) 0,160899      

R-squared = 94,8782 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 94,4842 percent

Standard Error of Est. = 0,0251778

Mean absolute error = 0,0169255

Durbin-Watson statistic = 1,36787 (P=0,0913)

Lag 1 residual autocorrelation = 0,0654037

The StatAdvisor

The output shows the results of fitting a multiple linear regression model to describe the relationship between Col_2 and 1 independent variables. The equation of the fitted model is

Col_2 = 2,93509 + 0,00023564*Col_1

Since the P-value in the ANOVA table is less than 0,05, there is a statistically significant relationship between the variables at the 95,0% confidence level.

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru

Вывод. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. Т.к. Multiple Regression - Col_2 - student2.ru = 0,974, то можно говорить о том, что между величинами X и Y существует линейная прямая, весьма высокая связь.

Чтобы сделать статистический вывод о значимости коэффициента корреляции (при проверке линейности регрессионной зависимости) выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии линейной зависимости между исследуемыми с. в. против альтернативной гипотезы о наличии линейной связи.

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru ,

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru .

Если гипотеза H0отклоняется, то считается, что уравнение регрессии Y по X действительно имеет линейный вид .

Для проверки гипотезы H0 вычисляется t-статистика

Multiple Regression - Col_2 - student2.ru = Multiple Regression - Col_2 - student2.ru .

При условии справедливости гипотезы H0 рассчитанная t-статистика имеет распределение Стьюдента с n – 2 степенями свободы. Найденное значение t = 15,501сравнивается с критическим значением ta,n при n = n – 2 = 15-2 = 13 степенях свободы (приложение А). В нашем случае ta,n = t a=0.05, n=13 = 1,771. Так как расчетное значение 15,501по абсолютной величине превосходит табличное 1,771 для заданного уровня значимости, то нулевая гипотеза H0 о линейной независимости двух с. в. отклоняется.

Задание для факультета ПГС для лабораторной работы 3

Наши рекомендации