Некоторые положения теории
Д-6 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ДЛЯ АНАЛИЗА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Некоторые положения теории
Возможными, или виртуальными, называют воображаемые бесконечно малые перемещения системы, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями и не изменяющие действие связей. Число независимых возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Возможное перемещение точки обозначается символом , бесконечно малое действительное перемещение точки – символом . Возможное перемещение – это перемещение, которое точка может совершить в данный момент времени, а действительное перемещение – это перемещение, которое совершает точка за элементарный промежуток времени dt.
Возможное перемещение материальной точки, находящейся на поверхности, направлено по касательной к поверхности. Возможные перемещения всех точек поступательно движущегося тела одинаковы.
Возможным перемещением вращательно движущегося тела является поворот на бесконечно малый угол dj вокруг оси вращения (рисунок 6.1). При этом возможное перемещение точки вращающегося тела направлено перпендикулярно отрезку h, соединяющему данную точку с осью вращения,
.
Если тело движется плоско, то его возможное перемещение представляет собой поворот на угол dj вокруг оси, проходящей через мгновенный центр перемещений (МЦП). Положение МЦП тела совпадает с положением мгновенного центра скоростей.
При определении работы сил на элементарном перемещении силы принимаются постоянными. Поэтому работа dA силы на возможном перемещении точки приложения данной силы определяется как скалярное произведение:
,
где ai – угол между векторами и .
Если сила приложена к телу, совершающему поворот на угол dj вокруг точки O, то работу такой силы можно определить по формуле
,
где – момент силы относительно точки O. Если момент противоположен возможному вращению, то работа силы отрицательна.
Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называют идеальными. К идеальным относятся следующие связи: гладкая поверхность; шероховатая поверхность при качении тела без проскальзывания; упругая нить; невесомый стержень; цилиндрический и сферический шарниры; жесткая заделка. При наличии скольжения связь типа шероховатая поверхность не является идеальной, так как работа силы трения при возможном перемещении не равна нулю.
Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю:
,
где – элементарная работа i-й активной силы на возможном перемещении точки ее приложения.
Условие задания Д-6
Механизмы, изображенные на рисунке 6.2, находятся под действием сил и пары сил с моментом М. Исходные данные приведены в таблице 6.1. Угол a = 30°, а b = 45°. Используя принцип возможных перемещений, определить модуль силы , при котором система будет находиться в равновесии.
|
|
Рисунок 6.2 (начало)
|
| ||||
|
| ||||
|
| ||||
|
|
Рисунок 6.2 (продолжение)
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| ||||||
|
|
Рисунок 6.2 (продолжение)
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| ||||||
|
|
Рисунок 6.2 (продолжение)
|
| ||||||
|
|
Рисунок 6.2 (окончание)
Таблица 6.1 – Исходные данные к заданию Д-6
| Вариант | Размеры звеньев, см | Q, Н | M, Н×м | |||
| AO | AB | BC | BO1 | |||
| — | — | |||||
| — | ||||||
| — | — | |||||
| — | — | |||||
| — | ||||||
| — | ||||||
| — | — | |||||
| — | ||||||
| — | ||||||
| — | ||||||
| — | — |
Продолжение таблицы 6.1
| — | — | |||||
| — | — | |||||
| — | ||||||
| — | — | |||||
| — | ||||||
| — | ||||||
| — | ||||||
| — | ||||||
| — | — | |||||
| — | — | — |
Пример выполнения задания
Механизм находится под действием силы Q = 150 Н и пары сил с моментом М = 100 Н×м (рисунок 6.3). Размеры тел: AO = AB = 60 см, BC = 30см, BO1 = 50 см. Используя принцип возможных перемещений, определить модуль силы , при котором система будет находиться в равновесии.
Решение
1 Делаем рисунок механизма (см. рисунок 6.3). Указываем все внешние силы, действующие систему тел. На систему действуют: активные силы и ; пара сил с моментом M; сила тяжести колеса ; нормальная реакция ; сила сцепления ; реакции в цилиндрическом шарнире и .
Рисунок 6.3
2 Указываем возможные перемещения тал в механизме. Тело 1 (кривошип AO) движется вращательно вокруг оси, проходящей через точку O. Возможное перемещение этого тела — поворот вокруг токи O на угол dj1. Тело 2 (шатун AB) движется плоско. Для того, чтобы найти мгновенный центр перемещений (МЦП) тела 2, укажем возможные перемещения двух его точек. Возможное перемещение точки A направлено перпендикулярно отрезку AO. Точка B принадлежит телу 3, которое движется плоско. МЦП тела 3 (точка P3) находится в точке сцепления колеса с поверхностью. Возможное перемещение точки B перпендикулярно отрезку BP3. Проведем через точки A и B перпендикуляры к векторам их возможных перемещений. В точке пересечения проведенных перпендикуляров находится МЦП тела 2 (точка P2). Возможное перемещение тела 2 это поворот на угол dj2 вокруг точки P2. Возможное перемещение тела 3 — поворот на угол dj3 вокруг МЦП P3.
Укажем возможные перемещения точек приложения внешних сил. Возможное перемещение точки C, к которой приложена сила , перпендикулярно отрезку CP2. Возможное перемещение точки O1, к которой приложена сила , перпендикулярно отрезку O1P3. Возможные перемещения точек O и P3 равны нулю.
3 Записываем формулировку принципа возможных перемещений. Механизм будет находиться в равновесии, если сумма работ внешних сил на возможных перемещениях будет равна нулю.
.
Цилиндрический шарнир является идеальной связью. Значит, работы сил и на возможных перемещениях равны нулю. Возможное перемещение точки P3 равно нулю. Значит, равны нулю и работы сил и . Вектор силы тяжести колеса перпендикулярен возможному перемещению точки O1. Значит, работа силы равна нулю. Для рассматриваемого механизма принцип возможных перемещений приводит к уравнению:
. (6.1)
Работа пары сил на возможном перемещении равна произведению момента пары на возможный угол поворота тела, к которому приложена пара.
.
Работа силы на возможном перемещении равна скалярному произведению силы на вектор возможного перемещения точки приложения этой силы.
;
.
Определим угол a между векторами и (см. рисунок 6.3). По условию задачи треугольник ABO равнобедренный (AO = AB). Значит ÐOAB = 120°, ÐABO = 30°, ÐP2AB = 60°. Треугольник BO1P3 — равнобедренный (BO1 = O1P3), ÐBO1P3 = 120°. Значит ÐO1P3B = 30°, ÐP2BO = 60°, ÐP2BA = 30°. Следовательно, треугольник ABP2 прямоугольный (ÐAP2B = 90°). Из прямоугольного треугольника ABP2 находим:
AP2 = AB×sin30° = 0,6×0,5 = 0,3 м.
Значит треугольник ACP2 — равносторонний (AC = AB – BC = AP2, ÐCAP2 = 60°), и ÐACP2 = 60°. Искомый угол a и ÐACP2 являются углами со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, a = 60° и
.
Подставим выражения для работ в уравнение (6.1).
. (6.2)
4 Выражаем входящие в уравнение (6.2) возможные перемещения через возможный угол поворота dj1 (можно выражать через любое из указанных на рисунке возможных перемещений). Возможное перемещение точки A можно выразить через угол поворота dj1 ( ) или через угол dj1 ( ). Значит
.
Тогда для возможного перемещения точки C запишем
. (6.3)
В равностороннем треугольнике ACP2 длины отрезков AC и CP2 одинаковы CP2 = AC = 0,3 (м).
Тела 2 и 3 имеют общую точку B. Возможное перемещение этой точки можно выразить через угол поворота dj2 ( ) или угол поворота dj3 ( ). Значит,
.
Длину отрезка BP2 определим из прямоугольного треугольника ABP2. . Длину отрезка BP3 определим из треугольника BO1P3 по теореме косинусов
Для возможного перемещения точки O1 получим . Подставим в последнее равенство выражение для угла dj2
. (6.4)
В треугольнике BO1P3 длины отрезков O1P3 и BO1 одинаковы O1P3 = BO1 = 0,5 (м). Подставим равенства (6.3) и (6.4) в уравнение (6.2)
. (6.5)
5 Решаем полученное уравнение. Сократим в уравнении (6.5) возможный угол поворота dj1 и выразим силу F.
.
Подставим численные значения и произведем вычисления