Образец выполнения задания контрольной работы

ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Основные понятия и определения

Простейшими движениями твердого тела являются поступательное движение и вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная на теле, остается в течение всего времени движения параллельной самой себе в первоначальном положении. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек твердого тела в каждый момент времени одинаковы. Следовательно, определив параметры движения какой-либо одной его точки, можно описать движение всего тела.

Вращательным называется движение твердого тела, при котором по крайней мере две его точки в течение всего процесса движения остаются неподвижными. Линия, соединяющая неподвижные точки тела, называется осью вращения. Положение вращающегося тела в пространстве определяет его угол поворота . Измеряется он в радианах (рад). Зависимость , характеризующая изменение этого угла в функции от времени, называется кинематическим уравнением вращательного движения.

Быстроту изменения угла поворота характеризует угловая скорость . Она равна первой производной от угла поворота тела по времени:

.

Измеряется угловая скорость в рад/с.

Вектор угловой скорости тела имеет модуль, соответствующий значению угловой скорости , и направляется по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

Для характеристики быстроты изменения угловой скорости во времени служит угловое ускорение. Оно определяется дифференцированием по времени выражения угловой скорости тела

.

Измеряется угловое ускорение в рад/с².

Вектор углового ускорения вращающегося тела совпадает по направлению с вектором угловой скорости, если вращение ускоренное, и направлен противоположно ему, если вращение замедленное.

Движущиеся точки вращающегося тела описывают окружности с центрами, находящимися на оси вращения. Их линейные скорости можно определить из соотношения

,

где h – расстояние от конкретной точки до оси вращения тела.

Линейное ускорение точки вращающегося тела складывается из касательного и нормального ускорений

.

Касательное и нормальное ускорения, в свою очередь, определяются по формулам:

, .

Полное ускорение точки, находящейся на вращающемся теле,

.

Рисунок 2.1

Для преобразования поступательного движения во вращательное и наоборот, а также для изменения характеристик вращательного движения используются механизмы с зубчатыми, ременными, цепными и др. передачами. При зубчатом зацеплении (рисунок 2.1) для выражения угловой скорости одного из колес через угловую скорость второго надо использовать условие равенства линейных скоростей соприкасающихся точек зубьев обоих колес (точек зацепления):

.

Здесь введены индексы А₁ и А₂ для того, чтобы указать, какому колесу принадлежит контактирующая точка. Используя выражение скорости точки вращающегося тела, получаем:

, .

Аналогичные соотношения справедливы и для цепной (ременной) передачи.

Часто на практике встречаются ситуации, когда два колеса вращаются вокруг одной неподвижной оси. Если при этом они жестко соединены друг с другом, как это показано на рисунке 2.2, то их угловые скорости одинаковы:

.

Рисунок 2.2

В связи с тем, что между угловыми скоростями колес зубчатого механизма существует однозначное соответствие, то для характеристики его кинематических свойств вводят такое понятие, как передаточное отношение. Оно равно отношению угловой скорости ведущего звена к угловой скорости ведомого звена.

Образец выполнения задания контрольной работы

Исходные данные: на рисунке 2.3 приведена схема механизма. Радиусы колес: r₂ = 8 см, r₃ = 15 см, r₄ = 13 см, r₅ = 18 см, r₆ = 11 см. Расстояние ОМ = 16 см. Закон движения ведущего звена (в см) .

Рисунок 2.3

Определить: угловые скорости вращающихся тел, скорость и ускорение точки М в момент времени t₁ = 0,4 с.

Решение

1 Изображаем механизм с учетом заданных размеров. Он показан на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4

2 Определяем угловые скорости тел. Движение от звена 1, совершающего поступательное движение, к вращающемуся телу 2 передается с помощью нити АВ. Линейные скорости точек нити одинаковы. Поэтому . Линейную скорость точки A определим с помощью заданного закона движения:

(см/с).

Скорость точки В выражается через угловую скорость соотношением

.

Таким образом, получаем

; .

Колеса 2 и 3 жестко связаны между собой. Поэтому

, .

Связь между телами 3 и 4 осуществляется через точку C. Следовательно,

; ; ; ; .

Поскольку колеса 4 и 5 образуют блок, то

, .

Движение от тела 5 к телу 6 передается с помощью ремня. Поэтому

; ; ; ; .

3 Рассчитываем линейную скорость и линейное ускорение точки М. Положение точки М определяется поворотом звена 6. Следовательно, ее линейная скорость

.

Для заданного момента времени t₁= 0,4 c получаем

рад/с; см/с.

Линейное ускорение точки М, находящейся на вращающемся теле 6, определяется по формуле:

.

Угловое ускорение звена 6 с учетом постоянства радиусов имеет вид:

.

В момент времени t₁= 0,4 c

рад/с²;

см/с².

По результатам расчетов на схеме (см. рисунок 2.4) нанесены направления угловых скоростей, углового ускорения звена 6, а также показаны векторы скорости и ускорения точки М.

Условие задания К-2

Преобразование движений в зубчатых, цепных и ременных передачах

Для изображенных на рисунке 2.5 механизмов заданы радиусы колес и уравнение движения звена 1. Колеса, вращающиеся вокруг общей оси, жестко скреплены между собой. На основании приведенных в таблице 4 исходных данных:

1) изобразить механизм в масштабе с учетом правил инженерной графики;

2) используя закон движения звена 1, последовательно составить условия передачи движения и получить выражения угловых скоростей каждого вращающегося тела;

3) рассчитать скорость и ускорение выделенной точки М для заданного момента времени, соответствующие векторы изобразить на рисунке.

Рисунок 2.5

Рисунок 2.5 (продолжение)

Рисунок 2.5 (продолжение)

Рисунок 2.5 (окончание)
Таблица 4 – Исходные данные к заданию К-2

Вариант	Уравнение движения звена 1 (s, м; φ, рад)	Радиусы колес, см	Время t1, c
r1	r2	r3	r4	r5
	s1 = 4 t3 – 2 t	–
	s1 = 2 – 0,5 t2	–					0,5
	s1 = 3 t3 – t2	–
	φ1 = 2 – t3
		–		3,5
	s1 = 4 t2 – 4	–		3,5			1,5
	s1 = 0,5 t4	–
	s1 = 3 t2 – 6	–					1,5
		–
	φ1 = 5 t – 0,5 t2						2,5
	s1 = 0,5 t2 +0,2	–					2,5
	s1 = 2 t4 – 3 t2	–					0,5
	s1 = 5 t2 – t3	–	3,5		5,5	3,5	0,5
	s1 = 2 – 1,5 t2	–		3,5		3,5
	s1 = 0,5 t4 – 6	–			7,5	4,5
	s1 = 4 t2 – t4	–					0,5
		–					1.5
	s1 = 3 t2 – 4	–
	s1 = – 4 t3 + t2	–
	s1 = 2 t4 – 3 t	–	3,5				0,5
		–				3,5	1,5
	φ1 = 0,75 t4 – 3
	φ1 = 0,5 t4 – 2 t						0,5
	s1 = 3 t3 – 1	–				5,5	2,5
	s1 = 6 t3 – 2 t	–
	φ1 = 1,5 t2 – 3	5,5	8,5
	φ1 = 0,5 t3 + t2						0,5
	φ1 = 4 – 0,5 t4						1,5
	φ1 = 5 t– 2 t2						2,5
	s1 = 2 t4 – 3 t2	–