Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики

Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848—1925) предпринял попытку свести математику к логике. С этой целью в первой своей работе по математической логике «Исчисление понятий» («BegnfTsschrift») он определил множество как объем понятия и таким образом получил возможность определить и чи­сло через объем понятия. Такое определение числа он сфор­мулировал в «Основаниях арифметики» («Grundlagen der Arithmetik»), книге, которая в то время осталась незамеченной, но впоследствии получила широкую известность. Здесь Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множе­ства, выражающие их объемы, можно поставить во взаимоодноз­начное соответствие друг с другом. Так, например, понятие «вер­шина треугольника» равночисленно понятию «сторона треуголь­ника», и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом понятия «вершина треугольника».

Если Лейбниц только наметил программу сведения математи­ки к логике, то Г. Фреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, т. е. произвел некото­рую математизацию логики²². Символические обозначения, при­нятые им, очень громоздки и поэтому мало кто полностью прочитал его «Основные законы арифметики». Сам Фреге осо­бенно и не рассчитывал на то, что его произведение найдет читателей. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль

в истории обоснования математики в первой половине XX в. В этом произведении Фреге писал: «В моих «Основаниях арифме­тики» (1884) я пытался привести аргументы в пользу того, что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об «Основных законах арифметики». — Л. Г.)это должно быть подтверждено тем, что простейшие законы арифме­тики здесь выводятся только с помощью логических средств» .

Итак, Фреге полагал, что он логически определил число и точ­но перечислил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом он и сделал арифметику частью логики. Фреге не подо­зревал, однако, что построенная им система не только не пред­ставляла собой логического обоснования содержательной ариф­метики, но была даже противоречивой. Это противоречие в си­стеме Фреге обнаружил Бертран Рассел.

В послесловии к «Основным законам арифметики» Фреге писал по этому поводу: «Вряд ли есть что-нибудь более нежела­тельное для автора научного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ его здания оказывает­ся пошатнувшейся (опровергнутой: erschuttert). В такое положе­ние я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги близилось к концу»² . Противоречи­ем, которое обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств (см. с. 193 -194).

Причину своей неудачи Фреге видел в использованном им предположении, что у всякого понятия есть объем в смысле постоянного, строго фиксированного множества, не содержащего в себе никакой неопределенности или расплывчатости. Ведь именно через этот объем он и определил основное понятие математики: понятие числа.

Вслед за Г. Фреге очередную попытку сведения математики к логике предпринял видный английский философ и логик Берт­ран Рассел (1872—1970). Он также автор ряда работ из области истории, литературы, педагогики, эстетики, естествознания, со­циологии и др. Труды Рассела в области математической логики оказали большое влияние на ее развитие. Вместе с английским логиком и математиком А. Уайтхедом²⁵ Рассел разработал ори­гинальную систему символической логики в фундаментальном трехтомном труде «Principia Mathematica»²⁶. Выдвигая идею о сведении математики к логике, Рассел считает, что если гипо­теза относится не к одной или нескольким частным вещам, но к любому предмету, то такие выводы составляют математику. Таким образом, он определяет математику как доктрину, в кото­рой мы никогда не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, верно ли то, что мы говорим. Рассел делит математику на чистую и прикладную. Чистая математика, по его мнению, есть совокупность формальных вы­водов, независимых от какого бы то ни было содержания, т. е. это класс высказываний, которые выражены исключительно в те­рминах переменных и только логических констант. Рассел не только вполне уверен в том, что ему удалось свести математику к такого рода предложениям, но и делает из этого утверждения вывод о существовании априорного знания, считает, что «мате­матическое познание нуждается в посылках, которые не базиро­вались бы на данных чувства»²⁷. Отсюда видно, что Рассел разрывает две взаимосвязанные ступени познания — чувствен­ную и рациональную. Он отбрасывает в математике первую ступень познания и переходит сразу к абстрактному мышлению, а это и есть априоризм, стремление показать, что математические истины — истины разума, никак не связанные с опытом, с чувст­венным восприятием мира.

От чистой математики Рассел отличает прикладную матема­тику, которая состоит в применении формальных выводов к ма­териальным данным.

Для того чтобы показать, что чистая математика сводится к логике, Рассел берет систему аксиом арифметики, сформулиро­ванную Пеано, и пытается их логически доказать, а три неоп­ределяемых у Пеано понятия: «нуль», «число», «следующее за» — определить в терминах своей логической системы. Все натуральные числа Рассел также считает возможным выразить в терминах логики, а следовательно, свести арифметику к логике. А так как, по его мнению, вся чистая математика может быть сведена к арифметике, то и математика может быть сведена к логике. Рассел пишет: «Логика стала математической, матема­тика логической. Вследствие этого сегодня совершенно невоз­можно провести границу между ними. В сущности это одно и то же. Они различаются как мальчик и мужчина; логика — это юность математики, а математика — это зрелость логики»²⁸. Рассел считает, что не существует пункта, где можно было бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую — математика.

Но в действительности математика несводима к логике. Пред­меты изучения этих наук различны. Нами ранее были указаны характерные черты, присущие логике как науке (см. с. 114). У математики другие задачи и функции.

В большом трехтомном труде «Principia Malhematica» есть две стороны. Первая — заставляющая видеть в нем один из основных истоков современной математической логики. Все, что связано с этой стороной Principia Mathematica, получило в даль­нейшем такое развитие в математической логике, которое сдела­ло эту новую область науки особенно важной для решения не только труднейших задач теоретической математики и ее обоснования, но и целого ряда весьма важных для практики задач вычислительной математики и техники.

Другая сторона этого произведения — точнее, даже не самого этого произведения, а философских «обобщений», делаемых логицистами со ссылкой на него, — принадлежит уже к области попыток использовать его для «доказательства» положения, что математика-де сводится к логике. Именно эта сторона и относит­ся к области неправильных выводов. Именно ее и опровергает дальнейшее развитие науки, которое обнаружило, что эта попыт­ка Рассела не удалась. И это не случайно. Дело не в том, что Рассел в каком-то смысле не совсем удачно построил свою систему. Дело в том, что и нельзя построить формальную «логи­ческую систему» с точно перечисленными и эффективно выпол­нимыми правилами вывода, в которой можно было бы фор­мализовать всю содержательную арифметику. Это обстоятельст­во представляет собой содержание известной теоремы австрийс­кого математика и логика К. Гёделя о неполноте формализован­ной арифметики, из которой следует непосредственно, что опре­деление математических понятий в терминах «логики» хотя и об­наруживает некоторые связи этих понятий с логикой, но не лишает их тем не менее специфически математического содержа­ния. Формализованная система имеет смысл лишь при наличии содержательной научной теории, систематизации которой данная формализованная система должна служить.

Однако Г. Фреге и Б. Рассел пришли в логическом анализе к ряду интересных результатов, относящихся к понятиям «пред­мет», «имя», «значение», «смысл», «функция», «отношение» и др. Особо следует подчеркнуть важность разработанной Расселом теории типов (простой и разветвленной), цель которой состоит в том, чтобы помочь разрешить парадоксы в теории множеств. Рациональное зерно разветвленной теории типов Рассела состоит в том, что она является конструктивной теорией.

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ

Если в двузначной логике высказывание бывает истинным или ложным, то в многозначных логиках число значений истинности аргументов и функций может быть любым конечным и даже бесконечным. В настоящем приложении отрицание обозначается через N x или

конъюнкция — через Кху или нестрогая дизъюнкция —через Аху или материальная импликация — через Сху или Значения функции от аргумента а будем записывать так: [д]. Тавтологией (или общезначимой) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в нее переменных принимает значение «истина» (чаще всего в рас­сматриваемых системах «истина» обозначается цифрой 1).

Развитие многозначных логик, по нашему мнению, подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а также положение об относительном характере конкретно-научных знаний: то, что яв­ляется тождественно-истинным в одной логической системе, не оказывается тождественно-истинным в другой.

Трехзначная система Лукасевича²⁹

Трехзначная пропозициональная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 г. В ней «истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «нейтрально» — ¹/₂ . В качестве основных функций взяты отрицание (обозначается Nx) и импликация (Сху); произ­водными являются конъюнкция (Кху) и дизъюнкция (Аху). Тав­тология принимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются мат­рицами (табл. 13, 14) и равенствами так:

Таблица 13

х	Nx
½	½

Таблица 14

х / у		1/2
½		½	½

1) [Nx]=l-[x];2) [Сху] = 1, если ; 3) [Сху] = 1-[x]+[у], если [x]>[у], или в общем виде: 4)[Сху]=min (1,1 — [x]+[у]).

Конъюнкция определяется как минимум значений аргумен­тов: [Kxy]=min ([x], [у]); дизъюнкция — как максимум значений х и у: [Аху]= тах ([x], [у]).

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и ди­зъюнкции в системе Лукасевича не будут тавтологиями (закона­ми логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики, а также и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего. Поэтому логика Лукасевича не являет­ся отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтоло­гиями являются правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузнач­ной логики: и (т. е. если из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х).Это можно доказать, взяв [х] = ¹/₂ и [у] = ¹/₂ .

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы, структурно выражающие правильные дедуктивные умозаключения традиционной логики, формализованные средст­вами алгебры логики, а именно modus tollens, простая деструк­тивная дилемма, а также формулы разделительно-категоричес­кого силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение ¹/₂, то в логике Лукасевича и в двузначной логике определения фу­нкций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности — ¹/₂ , то не все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лука­севича.