Процесс гибели и размножения

Процессом гибели и размножения называется марковская цепь, размеченный граф состояний которой изображен на рис. 3. Здесь l₀, l₁, …,l_k-1— интенсивности переходов си­стемы из состояния в состояние слева направо; m₁, m₂,…, m_k—

Рис. 3

интенсивности переходов справа налево. Очевидно, все со­стояния A₀, A₁,..., A_k являются существенными сообщающи­мися состояниями. Следовательно, в силу теоремы 2 сущест­вует предельное распределение вероятностей состояний, ко­торое имеет вид:

p₀ = ;

p₁ = p₀; p₂ = p₀; … ; p_k = p₀.

Системы массового обслуживания и их классификация.

Математический аппарат для изучения закономерностей функционирования систем, удовлетворяющих массовый спрос, и образования очередей в такого рода системах называется теорией массового обслуживания.

Методы теории массового обслуживания все более широ­ко применяются на транспорте для расчета рациональной ор­ганизации подачи вагонов под разгрузку и погрузку, для рас­чета мощностей пунктов текущего ремонта вагонов, для вы­бора рационального числа кассовых аппаратов на вокзалах и станциях метрополитена. Поэтому современному инженеру железнодорожного транспорта необходимо знать основы тео­рии массового обслуживания.

Заявкой (требованием) назовем спрос на удовлетворение какой-либо потребности. Далее будем подразумевать, что все заявки однотипные. Удовлетворение спроса назовемоб­служиванием заявки.

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок, поступающих в нее в случайные моменты време­ни. Устройство, непосредственно обслуживающее заявку, на­зываетсяканалом обслуживания. СМО может содержать одно такое устройство, тогда она называетсяодноканальной. Если СМО содержит несколько обслуживающих устройств, то она называетсямногоканальной.

Поступление заявки в СМО назовемсобытием. Последо­вательность событий, состоящих в поступлении заявок в СМО, назовемвходящим потоком заявок. Последовательность собы­тий, состоящих в выходе заявок из СМО, назовемвыходящим потоком заявок.

В зависимости от поведения заявки в СМО различают СМО сотказами и СМОс очередью (или ожиданием). В СМО сотказами заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, получает отказ и покидает СМО. В СМО соче­редью (или ожиданием) заявка, поступившая в момент за­нятости всех каналов, становится в очередь и ожидает осво­бождения одного из каналов обслуживания.

Возможны СМОсмешанного типа. Например, СМО с ог­раниченной очередью. В такой СМО заявка становится в оче­редь при занятости всех каналов, если очередь невелика, скажем, не достигла длины т. Если все т мест в очереди за­няты, заявка покидает СМО. К СМО смешанного типа отно­сятся СМО с ограниченным временем ожидания. Заявка, по­ступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь, но может уйти из СМО необслуженной, если время ожидания слишком велико.

СМО с очередью (или с ожиданием) могут быть открыто­го и замкнутого типа. Воткрытых СМО интенсивность по­ступающего на нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО, так как круг «клиентов» (поступающих заявок) практически не ограничен. Примерами таких СМО являются вокзальные кассы, метрополитен, телевизионные ателье больших городов и т. д. В СМО с очередьюзамкнутого типа об­служивается ограниченный круг «клиентов», поэтому интен­сивность потока заявок существенно зависит от состояния си­стемы. Примерами таких СМО являются различные ремонт­ные системы в автопарках, цехах и т. д.

СМО с очередью и смешанного типа различаются также подисциплине обслуживания; обслуживаются ли заявки в порядке поступления, или в случайном порядке, или есть заявки, которые обслуживаются вне очереди (СМО с приорите­том).