Д) построить графики функций f(x) и F(x).

Решение:

а) Найдём параметр . Из условия, что и значения данной случайной величины заключены в промежутке , то

, откуда ;

б) Найдём функцию распределения .

Из свойства функции плотности имеем: .

Рассмотрим три интервала.

При .

.

При .

При .

Таким образом,

в) Найдём вероятность попадания случайной величины в интервал

(4; 6).

г) Найдём математическое ожидание M (X) и дисперсию D (X):

д) построим графики функций f(x) и F(x).

Ответ: а) . б)

в) ; г)

Задача 8. Случайная величина имеет биномиальное распределение. Найти вероятность , если математическое ожидание , а дисперсия .

Решение: Для биномиального закона распределения имеем:

; .

Зная из условия, что математическое ожидание , а дисперсия

. Найдем из системы уравнений:

Делим одно уравнение на другое, получаем:

; а ; ; тогда .

Вероятность: .

По формуле Бернулли: Таким образом, получим:

Окончательно, имеем:

Ответ:

Задача 9. Случайные величины имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности , если у этих случайных величин математические ожидания и средние квадратические отклонения равны 3.

Решение:

1. Закон равномерного распределения имеет вид:

Найдём параметры и из условия: ; .

Зная, что математические ожидания и средние квадратические отклонения равны 3, найдем и :

Решим систему уравнений:

, получим:

Так как предполагается, что , то .

Определяем искомую вероятность:

2. Показательное распределение имеет вид:

Для показательного распределения: ; . Тогда .

3. Вероятность попадания в заданный интервал нормального распределённой случайной величины определяется как:

.

Здесь . Тогда

где функция Лапласа определяется по таблицам.

Ответ: 1. 2.

3.

Задача 10. Выборка Х объемом измерений задана таблицей:

- результаты измерений; частоты, с которыми встречаются значения ; .

а) Построить полигон относительных частот ;

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение ;

в) по критерию проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .

Решение:

а) Построить полигон относительных частот .

	0,6	1,2	1,8	2,4		3,6	4,2

Вычисляя относительные частоты: , получаем:

	0,6	1,2	1,8	2,4		3,6	4,2
	0,05	0,13	0,25	0,25	0,19	0,10	0,03

остроим полигон относительных частот.

ычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

Для вычисления ; ; воспользуемся методом произведений. Введём условные варианты: , где - значение , которому соответствует наибольшая частота, , шаг выборки - .

Тогда, вычисляя , получим условный ряд:

	0,6	1,2	1,8	2,4		3,6	4,2
	-3	-2	-1

Для этого ряда составим расчётную таблицу:

	-3		-15
	-2		-26
	-1		-25
			-18

Проверка:

272=272.

Найдём теперь условные характеристики:

Возвращаясь к исходному вариационному ряду, с помощью равенств получаем: