Задания для самостоятельного решения.
1.Найти предел функции:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ;
22) ; 23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) ;
32) ; 33) ;
34) ; 35) ;
36) ; 37) ;
38) ; 39) ;
40) ; 41) ; 42) ;
43) ; 44) .
Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 2; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) 7; 11) 1; 12) 3; 13) ; 14) ;
15) ; 16) 0; 17) ; 18) ; 19) 2; 20) ; 21) ;
22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) 18; 28) ;
29) ; 30) ; 31) ; 32) 0; 33) ; 34) 0; 35) ;
36) ; 37) 1; 38) 6; 39) –1; 40) ; 41) ; 42) ;
43) ; 44) .
Блок №3
Непрерывность функции
Функция , определённая в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если . Другими словами, непрерывна в точке x0, если выполнены два условия: 1) определена в некотором интервале, содержащем точку ; 2) бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции .
Функция непрерывна в точке в том и только том случае, если .
Если функция непрерывна в каждой точке числового множества X, то говорят, что непрерывна на множестве X . Сумма, произведение, частное (при неравенстве нулю знаменателя), суперпозиция непрерывных функций также являются непрерывными функциями.
Функция терпит разрыв в точке в одном из следующих случаев:
1) , но либо не определено (рис.1); в этом случае говорят, что – точка устранимого разрыва;
2) – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что терпит в точке скачок) (рис.2);
3) по крайней мере одного из односторонних пределов в точке не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что – точка разрыва второго рода (рис.3).
Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
1.Исследовать функцию на непрерывность, сделать эскиз графика, если:
1) ;
Решение. Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Именно в ней мы должны найти односторонние пределы (левосторонний и правосторонний). Найдем односторонние пределы в точке .
Согласно теории, точка является точкой разрыва первого рода, то есть в ней
функция претерпевает скачок.
Далее исследуем поведение функции на бесконечности, для этого найдем пределы при
Следовательно, – прямая, которая является для функции горизонтальной
асимптотой.
Сделаем эскиз графика.
2) ;
Решение. Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Определим с помощью односторонних пределов тип разрыва в этой точке.
.
Делаем вывод, что точка будет точкой устранимого разрыва.
Графиком функции является прямая с выколотой точкой при .
Построим график функции, для этого подберем кроме точки (3,1) еще одну
произвольную. Пусть это будет (0,–2).
Сделаем эскиз графика функции.
Устранимый разрыв можно ликвидировать, если доопределить функцию в точке
разрыва, задав:
3) ;
Решение. Заданная функция имеет две точки разрыва: и . Найдем односторонние пределы в этих точках.
Рассмотрим Разложив знаменатель на множители и сократив, получим следующее: – это гипербола, с точками разрыва и .
Тогда
Делаем вывод, что точка является точкой устранимого разрыва.
Найдем предел функции на бесконечности:
Следовательно, прямая y= 0 будет горизонтальной асимптотой для заданной
функции.
Построим график функции:
Рассмотрим примеры кусочных функций.
4)
Решение.
Функции являются непрерывными всюду, кроме, может быть, точек «склейки», то есть в , . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:
При функция определена и равна нулю, а функция в эту точку не заходит по условию.
Следовательно, точка x= 0 является точкой непрерывности функции.
Делаем вывод, что точка x= 2 является точкой разрыва первого рода и непрерывна
слева (по условию).
Строим график склеенной функции:
5)
Решение. Элементарные непрерывные функции и не определены в точке , а функции и «склеены» в точке , которая, быть может, также является точкой разрыва. Исследуем поведение функции в этих точках.
Точка является точкой устранимого разрыва.
При функция принимает значение, равное 2. Следовательно, точка является точкой непрерывности.
Строим график заданной функции:
6)
Решение.
Функция задана несколькими аналитическими выражениями, поэтому точки разрыва могут быть как в точках склейки , , так и в точках , , , где знаменатели дробей обращаются в нуль.
Сделаем некоторые упрощения: Далее будем рассматривать функцию с точками разрыва , .
Исследуем все точки:
Точка – точка разрыва второго рода.
Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).
Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).
Точка является точкой устранимого разрыва.
Точка является точкой разрыва второго рода.
Исследуем поведение функции при , а функции при .
Сделаем эскиз графика функции: