Свободный экстремум функции нескольких переменных

Рис. 2

через х и у – это координаты точки М (х,у) Х . График

функции f (х,у) представлен на рис. 2_б поверхностью, уравнение которой z = = f (x,y). При n = 3 область определения Х функции f можно изобразить на чертеже в виде некоторого геометрического тела . Аргументы функции обыч- но обозначают через х,у и z – это координаты точки, принадлежащей Х. График функции f (x,y,z) лежит в четы- рехмерном пространстве, и потому не может быть изображен на чертеже. Конечно, это относится и к графикам функций бóльшего, чем 3, количества переменных. Тем не менее при n ≥3 полезным бывает чертеж 2_в) , на котором горизонтальная координатная плоскость условно представляет пространство , множество определения Х функции f представлено фигурой, лежащей в этой плоскости, а график G функции f по аналогии со случаем n = 2 пред- ставлен этом чертеже поверхностью, уравнение которой x_n+1= f(x₁,x₂,…,x_n).

2.2. Предел функции

Пусть функция f определена на множестве , а точка х₀ является предельной точкой этого множества. Напомним, что х₀ может принадлежать, но может и не принадлежать Х, так что f не обязательно определена в точке х₀ . Пусть А – вещественное число.

Определение 1. Вещественное число называют пределом функции f при х, стремящемся к х₀ по множеству Х, если для любой последовательно- сти {x_k} элементов множества Х , все члены которой отличны от х₀ , и кото- рая сходится к х₀ , соответствующая последовательность {f (x_k)} значений функции сходится к А.

Если А является пределом функции f при х, стремящемся к х₀ по мно- жеству Х,будем записывать А = или f (x) . Таким образом, ра- венство А= означает:

{x_k} ( N x_kX, x_k х₀) ( x_k→ x₀) f (x_k)→ A

Пример 1. Пусть Этим равенством f определена на всей плоскости ХОY , за исключением точек оси абсцисс, так что здесь Х= ={Р(x,y)| y≠ 0). Очевидно, что всякая точка оси абсцисс является предель- ной точкой для множества Х. Покажем, что 1) А=0 является пределом функ- ции f, когда точка Р(х,у) стремится к началу координат О(0,0) по множеству Х и 2) функция f не имеет предела, когда точка Р(х,у) стремится по множе- ству Х к любой точке на оси абсцисс, отличной от начала координат О .

1) Пусть {Р_k (x_k,y_k)} , где k Ny_k ≠ 0, - последовательность точек, сходящаяся к началу координат О. Заметим: k N (Р_k X) (Р_k→O). В силу теоремы о покоординатной сходимости х_k→ 0 и y_k→ 0. Имеем: . Последовательность { х_k} – бесконечно малая, а последо- вательность { }, очевидно, ограничена; по теореме о произведении бес- конечно малой последовательности на ограниченную ([2], п.3.4) получаем : . Так как {Р_k (x_k,y_k)} – произвольная последовательность, удов- летворяющая требованиям k N Р_k Х и Р_k→ О, указанным в определении 1, то утверждение 1) доказано.

2) Пусть Р₀ – некоторая точка оси абсцисс, отличная от начала коорди- нат, т.е., Р₀(х₀ ,0), где х₀ ≠ 0. Рассмотрим последовательности { (x_k, )} и { (x_k, )}, где { х_k} – некоторая числовая последовательность, сходящаяся к х₀ . Очевидно, каждая из последовательностей { _k } и { } сходится к Р₀ и удовлетворяет требованиям, указанным в определении 1, при чем соответствующие им последовательности значений функции имеют раз- личные пределы: f( ) = х_k sin kπ → 0 ; f( ) = х_k sin(4k+1) → х₀ ≠ 0. Этого достаточно для вывода: число А, удовлетворяющее определению 1, не существует.

Определение 1 высказано на языке последовательностей. Сформулируем эквивалентное определение на языке ″ε–δ″.

Пусть функция f определена на множестве , а точка х₀ является пре дельной точкой этого множества.

Определение2. Вещественное число А называют пределом функции f при х, стремящемся к х₀ по множеству Х, если для любого положительного ε существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего Х и удовлетворя- ющего условиям 0<ρ(х, х₀) < δ, справедливо неравенство | f(х) – A | < ε .

Таким образом, равенство А= , где А – число, означает:

х ( 0< ρ(х, х₀) < δ | f(х) – A | < ε )

Определения 1 и 2 аналогичны определениям предела функции одной переменной; доказательство эквивалентности определений 1 и 2 проводится аналогично одномерному случаю ([1], п. 20.2). Аналогичны одномерному случаю формулировки и доказательства теорем об основных свойствах пре- делов: о единственности предела, о стабилизации знака неравенства, о пре -дельном переходе в неравенстве, о ″сжатой″ функции, об арифметических действиях с пределами, о разности между функцией и числом ([2],п.п. 4.5, 4.6). В качестве примера приведем формулировку и доказательство теоремы о стабилизации знака неравенства.

Теорема. Пусть А= и пусть р > A (p < A). Тогда существует положительное δ_р такое, что при всяком х, принадлежащем Х и удовлетво- ряющем условию 0< ρ(х, х₀) < δ_р, справедливо неравенство р > f(х) (f(х) < <p).

► Доказательство проведем для случая р > A. Обозначим: ε = р-А . В силу определения 2 существует δ > 0 такое,что при всяком х , которое при – надлежит Х и удовлетворяет неравенствам 0< ρ(х, х₀) < δ справедливо | f(х)- – A | < ε , т.е. – ε < f(х)- А < ε . Отсюда для указанных х получаем: f(х) < ε +А = р . Таким образом, δ_р существует: можно положить δ_р = δ .◄

В определении 2 А – вещественное число. Для А , равного +∞, - ∞ или ∞ , в определении 2 нужно лишь заменить неравенство | f(х) – A | < ε на f(х) > >ε , f(х) < - ε или | f(х)| > ε соответственно. Функции, удовлетворяющие та- ким условиям называют бесконечно большими при х, стремящемся к х₀ по множеству Х.

Рассматриваемые ниже функции чаще всего определены в окрестности или в проколотой окрестности точки х₀ . Окрестностью точки х₀ мы на- зываем любое открытое множество, содержащее х₀. Обозначать такое множе- ство будем символом . Проколотой окрестностью точки х₀ назовем вся -кую ее окрестность, из которой удалена сама точка х₀; обозначать это множе- ство будем символом : = { х | х х₀} . Заметим, что функция, определенная в окрестности , определена в точке х₀ ; если же функция определена в проколотой окрестности ,то в точке х₀ она может быть определена, но может быть и нет.

Точка х₀ = является предельной для множеств и . Если функция f определена на одном из этих множеств, то ее предел при х, стремящемся к х₀ по или по называют пределом функции f в точке х₀ и обозначают через или через .

2.3. Непрерывность функции в точке

Пусть функция f определена на множестве , а х₀ принадлежит Х иявляется предельной точкой этого множества.

Определение1. Будем говорить, что функция f непрерывна в точке х₀ по множеству Х, если = f(х₀) , т.е. если (на языке последовательностей)

{x_k} ( N x_kX) ( x_k→ x₀) f (x_k)→ f(х₀)

или (на языке ″ε–δ″)

х ( ρ(х, х₀) < δ | f(х) – f(х₀) | < ε )

Замечание. В отличие от определений 1 и 2 предыдущего пункта, в при- веденной выше записи на языке последовательностей отсутствует трeбование x_k ≠ x₀ , а в записи на языке ″ε–δ″ снято требование ρ(х, х₀) > 0. Тем самым членам последовательности {x_k} и точке х разрешено принимать значение x₀ . Снятые требования здесь излишни, поскольку функция определена в x₀ , а ее значение f(х₀) является и ее пределом.

Определение2. Будем говорить, что функция f непрерывна в точке х₀ , если она определена в некоторой окрестности и если = f(х₀).

Пример 1. . Этим равенством функция определена в замкнутом единичном круге Х = . Она непрерывна в каж -дой внутренней точке этого круга. Действительно, пусть Р₀(х₀,у₀) – внутрен- няя точка,т.е. . Найдется d > 0 такое, что d – окрестность со- держится в Х ( d < 1- ) . Пусть последовательность {Р_k(x_k,y_k)} тако- ва, что 1) NР_k и 2) Р_k → Р₀. Тогда x_k → x₀ и y_k → y₀ ; поэтому

f (Р_k) = .

Так как {Р_k(x_k,y_k)} – произвольная последовательность, удовлетворяю- щая требованиям 1) и2), то доказано равенство = f(Р₀), т.е. доказана непрерывность f в любой внутренней точке круга Х. Что касается его гра- ничных точек, т.е. точек единичной окружности, то в каждой из них функция непрерывна по множеству Х. Доказательство этого аналогично приведенному выше.

Пусть функция f определена на некотором множестве Х , а точка х₀ принадлежит Х. Пусть h = (h₁,h₂, …,h_n) – вектор такой, что х₀+ h . Раз- ность f (х₀+ h) - f(х₀) = f (х₁₀+ h₁, x₂₀ +h₂,…,x_n0+h_n) - f(х₁₀, x₂₀ ,…,x_n0) назовем приращением функции f в точке х₀. Обозначать эту величину будем символами Δ f и Δ ( h); второй из них будем употреблять тогда, когда желательно подчеркнуть, что приращение функции само является функцией n переменных h₁,h₂, …,h_n. Eсли f определена в некоторой окрестности , то ее приращение Δ ( h) есть функция, определенная в некоторой окрест- ности точки 0=(0,0, ....,0), причём Δ ( 0) = 0.

Теорема1. (О приращении непрерывной функции) Пусть функция определена в окрестности точки х₀ ,х₀ . Для того, чтобы функция была непрерывной в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы ее прираще- ние Δ ( h) стремилось к нулю при h→ 0.

► Δ ( h) = f (х₀+ h) - f(х₀) = f (х) - f(х₀) , где х =х₀+ h . Заметим: (х→ х₀) (h→ 0). По теореме о разности между функцией и числом (f (х) f(х₀)) (f (х) - f(х₀) 0). Таким образом, f непрерывна в х₀ ( т.е.f (х) f(х₀)) тогда и только тогда, когда Δ ( h) 0, а это равносильно Δ ( h) 0. ◄

Приведенная теорема и ее доказательство аналогичны формулировке и доказательству теоремы о приращении непрерывной функции одной пере - менной. Это же можно сказать и о следующих двух теоремах.

Теорема 2.( О стабилизации знака непрерывной функции). Пусть функ- ция f непрерывна в точке х₀ . Если f(х₀) ≠ 0, то существует δ > 0 такое, что при всяком х ( δ) справедливо f (х) · f(х₀) > 0.

Теорема 3.(Об арифметических действиях с непрерывными функциями)

Пусть функции f и g непрерывны в точке х₀ . Тогда их сумма f + g и произведение f · g непрерывны в х₀ . Если g(х₀) ≠ 0, то и их частное есть непрерывная в точке х₀ функция.

Пусть n функций φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) определены на множестве Т (n и m – некоторые натуральные числа). Обозначим: х_t = (φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t)), X = { х_t| t T }. Ясно, что Х . Пусть на Х определена функция f. Зададим на множестве Т функцию F : t T F(t) = f(х_t) = f(φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) ). Функцию F называют композицией или суперпозицией функций f и φ₁,φ₂,…, φ_n; F называют также сложной функцией.

Теорема 4. ( О непрерывности сложной функции)Пусть функции φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) непрерывны в точке t₀ , а функция f непрерывна в точке x₀ =(x₁₀,x₂₀, …,x_n0), где x_i0 = φ_i(t₀), i = 1,2,…,n. Тогда сложная функция F(t) = = f(φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) ) непрерывна в точке t₀ .

► Нужно доказать два утверждения: 1) функция F определена в неко- торой окрестности точки t₀ и 2) t) =F(t₀).

1) По условию f непрерывна в точке x₀ . Это означает, в частности, что она определена в некоторой окрестности этой точки; поэтому можно подобрать ε >0 так, чтобы f была определена в ( ε ). При каждом i = 1,2,…,n функция φ _i непрерывна в t₀ , значит, для каждого i найдется δ _i > 0 такое, что t ( δ _i ) выполняется | φ _i (t )- x _{i 0}| < . Обозначим через δ наи- меньшее из δ₁, δ₂,…., δ_n. Если t ( δ) ,то справедливо каждое из неравенств | φ _i (t )- x _{i 0}| < , i = 1,2,…,n; поэтому || х_t - x₀|| = = =ε. Таким образом, при всех t ( δ) точка х_t содержится в ( ε ); поэтому F(t) = f(х_t) определена в ( δ).

2) Пусть {t_k} – некоторая последовательность такая, что а) k Nt_k ( δ) и б) t_k → t₀. Обозначим: x_{k =} ( φ₁(t_k), φ₂ (t_k),…, φ_n(t_k)). Функции φ_i непрерывны в точке t₀, поэтому φ_i(t_k) → φ_i(t₀) = x_i0 , i = 1,2,…,n. Значит, x_k→ х₀ и так как f непрерывна в точке х₀ , то f(x_k) →f (x₀). Рассмотирим последо- вательность F(t_k ). Имеем:

F(t_k ) = f(φ₁(t _k), φ₂(t _k), …, φ_n(t _k)) = f(x_k) →f (x₀) = F(t₀ ).

Так как {t_k} - произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям а) и б), то равенство t) =F(t₀) доказано. ◄

2.4. Непрерывность функции на множестве

Определение 1. Будем говорить, что функция f непрерывна на множе- стве Х , если она определена на этом множестве и непрерывна по множеству Х в каждой предельной точке, принадлежащей Х.

Пример. Функция непрерывна на замкнутом множе- стве Х = - этот факт был установлен в примере 1, п. 2.3.

Справедливы теоремы, аналогичные теоремам Вейерштрасса о функци- ях одной переменной ( [2],п. 5.3).

Теорема 1. (Первая теорема Вейерштрасса ) Если функция f непре –рывна на замкнутом ограниченном множестве Х , то она ограничена на этом множестве, т.е. существуют числа А и В , А < В, такие, что при всех х Х А ≤ f(х) ≤ В.

Теорема 2 ( Вторая теорема Вейерштрасса ) Функция f, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Х , достигает на этом множестве своих точных граней, т.е. в Х существуют точки х и х такие, что f(х ) и f(х ) являются соответственно точной нижней и точной верхней гранями функции f на множестве Х.

Доказательства этих теорем можно найти в [1].

Теорема 3. ( Теорема Коши о промежуточном значении) Пусть функ- ция f непрерывна в области Х , х₁ и х₂ – две точки, принадлежащие Х , А = f(х₁), В = f(х₂). Если А ≠ В, то для любого числа С , заключенного между А и В в области Х существует точка ξ_С такая, что f(ξ_С) = С.

► Пусть γ – непрерывнвя кривая, содержащаяся в Х и соединяющая х₁ и х₂ ( так как Х – область, такая γ существует, см. определение 1, п. 1.4), а

- параметрические уравнения этой кривой, причем х₁ =( х₁(α), х₂(α ),…, х_n(α )) , х₂ = ( х₁(β), х₂(β ),…, х_n(β )). На [α , β] зададим функцию F (t) = f( х₁(t), х₂(t ), …, х_n(t )). Эта функция непрерывна на [α , β], так как является суперпозицией непрерывных функций, причем F (α) = f (х₁) =А, F (β) = f (х₂) =В. Пусть С заключено между А и В. По теореме Коши о промежуточном значении функции одной переменной ( [2],п. 5.3) на (α , β ) найдется τ такое, что F (τ ) = С. Положим ξ_С = ( х₁(τ), х₂(τ),…, х_n(τ)) . Тогда f(ξ_С) = F(τ) = С. ◄

Определение 2. Будем говорить, что функция f равномерно непрерывна на множестве Х , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых двух элементов х′ и х″ множества Х, удовлетворяющих условию || х′ - х″|| < δ, справедливо неравенство | f (х′) - f (х″) | < ε :

х′ х″ (|| х′ - х″|| < δ | f (х′) - f (х″) | < ε).

Нетрудно показать, что если функция равномерно непрерывна на множестве, то она и непрерывна на нем. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из непрерывности функции на множестве не вытекает ее равномерная непрерывность. Вместе с тем, справедлива теорема Кантора :если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она и равномерно непрерывна на нем. Доказательство см. [1].

§ 3. Частные производные и дифференциал функции n, n 2,

Переменных

3.1 Частные производные функции двух переменных в точке

Пусть функция f определена в окрестности U точки М₀ (х₀,у₀). Положим φ(х) = f( х,у₀). Этим равенством функция φ определена для тех х, для которых точка М(х,у₀) принадлежит U , т.е. φ определена в некоторой окрестности U =( a,b ), где a<x₀<b.

Определение 1. Если существует производная φ′(х₀), то это число называют частной производной функции f по аргументу х в точке М₀ .

Обозначают введенную этим определением частную производную символами f_х′(M₀) или f_х′(x₀,y₀) , а также

Таким образом,

Пример 1. Функция f определена этим равенством во всех точках плоскости , за исключением начала координат О(0,0). Пусть М₀ (х₀ ,у₀) – некоторая точка, отличная от О. Найдем f_х ′(M₀). Имеем:

Из свойств производной φ′ вытекают свойства частной производной : пусть функции f и g определены в окрестности точки М₀ и пусть существу- ют производные (M₀) и (M₀) ; тогда

1) существует h_х′(M₀), где h= f + g, причем h_х′(M₀) = f_х′(M₀) + g_х′(M₀) ;

2) существует h_х′(M₀), где h= f g, причем

h_х′(M₀) = f_х′(M₀) g(M₀) + f(M₀) g_х′(M₀) ;

3) если g(M₀) ≠ 0, то существует h_х′(M₀), где h= , причем

h_х′(M₀) =

Рис.3

G

Выясним геометрический смысл числа

f_х′(M₀). Пусть G есть график функции f,

т.е. поверхность с уравнением z =f(x,y).

Обозначим через Г линию пересечения

G с плоскостью у = у₀. Уравнение Г

запишем в виде системы .

Исключив из этой системы у,

получим уравнение линии γ -

проекции Г на плоскость ХОZ : z = f(x,y₀) = φ(x)

(рис.3). Производная φ′(х₀) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс касатель- ной l к кривой γ в точке Р₀ , абсцисса которой равна х₀ . Заметим, что кривые γ и Г конгруентны (получаются одна из другой параллельным переносом), а Р₀ есть проекция точки N₀(x₀,y₀,z₀), где z₀=f(x₀,y₀) . Значит, касательная L к кривой Г в точке N₀ параллельна касательной l кγ в точке Р₀. Отсюда заключаем: пусть Г есть линия пересечения графика функции с плоскостью, проходящей через точку М₀ перпендикулярно к оси ординат, а N₀ - точка на Г, проекция которой на ХОУ есть М₀; частная производная f_х′(M₀) равна тангенсу угла между осью абсцисс и касательной к Г, проведенной в точкеN₀.

Аналогично определяется f_у′(M₀) – частная производная функции f по аргументу у в точке М₀(х₀,у₀): f_у′(M₀) ψ′(у₀) , где ψ(у) = f(x₀,y).

Пример 2. . Найдем f_у′(M₀), где М₀(х₀,у₀) – некоторая точка плоскости, отличная от О(0,0). Имеем: ψ(у) = f(x₀,y)=

f_у′(M₀) ψ′(у₀) =

Очевидно, частная производная функции f по у обладает свойствами, аналогичными свойствам 1),2) и 3) частной производной по х. Геометрии- ческий смысл числа f_у′(M₀) выясняется так же, как это было сделано выше для f_х′(M₀): пусть Г есть линия пересечения графика G : z =f(x,y) c плоско- стью х =х₀ ; f_у′(х₀,у₀) есть тангенс угла между осью ординат и касательной к Г , проведенной в точке N₀(x₀,y₀,z₀), где z₀=f(x₀,y₀).

3.2 Частные производные функции n переменных

Пусть функция f(х), х =(х_1,х_2,…,х_n) определена в окрестности U точки х₀ = ( ). Выбрав одно из чисел 1,2,…,n ,обозначим его через i и положим φ_i(t) = f (x_t) , где x_t = - точка, координаты которой совпадают с координатами х₀, за исключением i-той координаты, равной t. Так как f определена в окрестности точки х₀, функция φ_i определена для t, близких к числу x_i0 , т.е. в окрестности U_x .

Определение 2. Если существует производная φ′_i(x_i0) , то это число называют частной производной от функции f по аргументу x_i в точке х₀ .

Обозначают частную производную, введенную определением 2 символами f ′_х ( х₀)и . Таким образом,

f ′_х ( х₀) φ′_i(x_i0)= .

Обозначим : h= t - x_i0. Тогда t = x_i0+ h ; h →0 при t → x_i0. Значит,

f ′_х ( х₀) = =

Свойства f ′_х ( х₀) вытекают из свойств производной φ′_i(x_i0) – они аналогичны утверждениям 1), 2) и 3) ,п.3.1.