Глава 10 Электромагнитные волны

В процессе распространения механической волны в упругой среде в колебательное движение вовлекаются частицы среды. Причиной этого процесса является наличие взаимодействия между молекулами.

Помимо упругих волн в природе существует волновой процесс иной природы. Речь идет об электромагнитных волнах, представляющих собой процесс распространения колебаний электромагнитного поля. По существу мы живем в мире ЭМВ. Их диапазон невероятно широк – это радиоволны, инфракрасное излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, γ – лучи. Особое место в этом многообразии занимает видимая часть диапазона – свет. Именно с помощью этих волн мы получаем подавляющее количество информации об окружающем мире.

Что такое электромагнитная волна? Какова ее природа, механизм распространения, свойства? Существуют ли общие закономерности, характерные как для упругих, так и для электромагнитных волн?

§1 Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны интересны тем, что первоначально они были «открыты» Максвеллом на бумаге. Основываясь на предложенной им системе уравнений, Максвелл показал, что электрическое и магнитное поля могут существовать в отсутствие зарядов и токов, распространяясь в виде волны со скоростью 3∙10⁸ м/с. Спустя почти 40 лет предсказанный Максвеллом материальный объект – ЭМВ – был обнаружен Герцем экспериментально.

Уравнения Максвелла являются постулатами электродинамики, сформулированными на основе анализа опытных фактов. Уравнения устанавливают связь между зарядами, токами и полями – электрическим и магнитным. Обратимся к двум уравнениям.

1 Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на контур (это закон электромагнитной индукции Фарадея):

(1)

Физический смысл этого уравнения – меняющееся магнитное поле порождает электрическое поле .

2 Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения потока вектора электрической индукции через поверхность, натянутую на контур:

(2)

Физический смысл этого уравнения – магнитное поле порождаетcя токами и меняющимся электрическим полем .

Даже без каких-либо математических преобразований этих уравнений понятно: если в какой-то точке меняется электрическое поле, то в соответствии с (2) возникает магнитное поле. Это магнитное поле, изменяясь, порождает в соответствие с (1) электрическое поле. Поля взаимно индуцируют друг друга, они уже не связаны с зарядами и токами!

Более того, процесс взаимного индицирования полей будет распространяться в пространстве с конечной скоростью, то есть возникает электро-

магнитная волна. Для того, чтобы доказать факт существования в системе волнового процесса, в котором колеблется величина S, необходимо получить волновое уравнение

Рассмотрим однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ. Пусть в этой среде существуют магнитное поле . Для простоты будем полагать, что вектор напряженности магнитного поля располагается вдоль оси ОY и зависит только от координаты z и времени t:

Записываем уравнения (1) и (2) с учетом связи между характеристиками полей в однородной изотропной среде: и :

Найдем поток вектора через прямоугольную площадку KLMN и циркуляцию вектора по прямоугольному контуру KLPQ ( KL = dz, LP= KQ = b, LM = KN = a)

Очевидно, что поток вектора через площадку KLMN и циркуляция по контуру KLPQ отличны от нуля. Тогда циркуляция вектора по контуру KLMN и поток вектора через поверхность KLPQ тоже отличны от нуля. Такое возможно только при условии, что при изменении магнитного поля возникло электрическое поле , направленное вдоль оси ОX.

Вывод : При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, напряженность которого перпендикулярна индукции магнитного поля .

С учетом сказанного система уравнений перепишется

После преобразований получаем:

Продифференцируем первое уравнение (1.1) по координате z, второе уравнение (2.1) – по времени t:

Очевидно,

Электрическое поле, порождаемое меняющимся магнитным полем, подчиняется волновому уравнению! Это означает, что возникшее электрическое поле подчиняется законам распространения волн.

Нетрудно видеть, что если продифференцировать первое уравнение (1.1) по времени t, второе уравнение (2.1) - по координате z , получим уравнение

Магнитное поле тоже подчиняется волновому уравнению, причем волна бежит в том же направлении, что и волна .

Подведем некоторые итоги

Преобразуя уравнения Максвелла, можно показать, что в природе должен существовать волновой процесс, связанный с распространением в пространстве меняющихся электрического и магнитного полей. Этот процесс называется электромагнитной волной.

1 В электромагнитной волне, в отличие от упругой волны, колеблются не частицы, а поля – электрическое и магнитное. Периодические изменения испытывают характеристики этих полей – напряженность электрического поля и индукция магнитного поля .

2 В любой точке пространства, где бежит ЭМВ, существуют два поля, причем вектор напряженности электрического поля всегда перпендикулярен вектору индукция магнитного поля .

3 ЭМВ поперечная. Колебания векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля перпендикулярны направлению распространения волны. Вектора скорости волны , напряженности электрического поля и индукции магнитного поля образуют в любой точке правую тройку векторов: Если вращать буравчик по направлению от вектора к вектору , то его поступательное движение укажет направление вектора скорости волны .

4 Распространение изменяющегося электромагнитного поля происходит с конечной скоростью. Она легко определяется из волнового уравнения – коэффициент перед второй производной от колеблющейся величины по координате представляет собой квадрат скорости волны:

Скорость волны :

5 Электромагнитная волна может распространяться не только в веществе, но и в вакууме. Для вакуума ε = 1 и μ = 1. Скорость волны в вакууме

.

Это одна из важнейших мировых констант в физике – скорость света в вакууме.

6 Колебания векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в волне происходят в одной фазе, численные значения векторов в любой момент времени в каждой точке пространства пропорциональны друг другу. Это нетрудно показать.

Поскольку и подчиняются волновому уравнению, то изменения и описываются функциями:

Находим производные

Подставляем полученные значения в уравнение (1.1)

.

После интегрирования получаем

Знак ± определяет направление распространения волны. Константа в полученном выражении определяет некоторое статическое поле, которое никак не связано с переменными полями, образующими волну. Поэтому, полагая для волны , получаем

7 Вид функции ,описывающей электромагнитную волну, может быть различным. Одним из важных частных случаев электромагнитной волны является плоская монохроматичная волна:

Мгновенные «фотографии» этой волны, сделанные через четверти периода, выглядят следующим образом:

§ 2 Излучение электромагнитной волны

Излучение электромагнитной волны происходит при любом ускоренном движении заряда. Объяснение механизма процесса излучения было предложено Дж. Томсоном.

Пусть электрическое поле создается неподвижным точечным зарядом q. Силовые линии этого электростатического поля представляют собой радиально расходящиеся лучи. Модуль вектора напряженности на расстоянии r от заряда определяется выражением .

Пусть заряд приходит в движение. В течение интервала времени он разгоняется с ускорением а до скорости . Потом в течение времени заряд продолжает двигаться равномерно и из точки О перемещается в точку О’. Расстояние .

Поскольку заряд переместился, картина распределения электрического поля в пространстве тоже должна измениться. Однако, возмущение электромагнитного поля (в нашем случае, информация о том, что заряд пришел в движение и переместился) распространяется не мгновенно, а с конечной скоростью c.

Изобразим картину силовых линий заряда q в момент времени . За пределами сферы радиусом поле не изменилось, сюда возмущение электромагнитного поля не дошло. Силовые линии представляют собой лучи, расходящиеся радиально из точки О.

Поле равномерно движущегося заряда совпадает с полем неподвижного заряда, поскольку все инерциальные системы отсчета равноправны. Строим сферу радиусом ct с центром в точке О (строго говоря, центр сферы должен отстоять от точки О на расстояние, пройденное зарядом за время ускорения ). Внутри этой сферы силовые линии должны быть опять-таки радиально расходящимися лучами, но проведенными из той точки, в которой находится заряд в данный момент времени – в нашем случае из точ-

ки O’.

Внутри сферического слоя толщиной силовые линии испытывают излом. Этот излом и есть возмущение электромагнитного поля. Картина схожа с распространением единичного импульса по натянутому шнуру.

Найдем величину напряженности электрического поля Е в распространяющемся возмущении (волне). Вектор напряженности на границе сферы радиусом направлен по касательной к силовой линии. Разложим вектор на две составляющих – нормальную и радиальную :

,

– перпендикулярная радиус-вектору составляющая, это и есть напряженность поля в электромагнитном возмущении.

Из подобия треугольников видно

.

.

.

Подведем итоги

1 Излучение электромагнитной волны происходит только при ускоренном движении заряда. Модуль напряженности электрической составляющей волны Е прямо пропорционален ускорению а, с которым двигается заряд.

2 Напряженность электрического поля Е в волне обратно пропорциональна расстоянию до излучающего заряда. Такая зависимость характерна для сферической волны.

3 Ускоренно движущийся заряд не излучает волну вдоль направления движения ( ).

4 Величина напряженности электрического поля Е в волне зависит от направления, в котором распространяется волна. Наибольшее значение имеет амплитуда волн, излучаемых в направлениях, перпендикулярных движению ( ).

§ 3 Энергия электромагнитной волны

Электрическое и магнитное поля обладают энергией. Плотность энергии в любой точке пространства, где распространяется ЭМВ, равна

.

С учтем связи между векторами и в волне ( ) нетрудно показать, что плотность энергии электрического и магнитного полей в какой-либо точке в любой момент времени равны.

.

Обратите внимание, точно так же ведут себя плотности кинетической и потенциальной энергий в упругой волне!

Напряженность электрического поля и индукция магнитного поля в волне непрерывно изменяются, поэтому в каждой точке пространства изменяется плотность энергии. В некоторый момент времени вектора и одновременнопринимают максимальное значение - плотность энергии в данном месте в данный момент тоже максимальна. Через четверть периода вектора и одновременностановятся равными нулю, поле в данной точке в данный момент времени нет. Куда делась энергия? При распространении электромагнитная волна переносит энергию подобно упругой волне. По этой причине для ЭМВ, как для механической волны, вводят понятия плотности потока энергии и интенсивности.

Плотность потока энергии - это энергия, переносимая волной за 1 секунду через поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Для плотности потока энергии воспользуемся полученным ранее результатом:

.

.

.

С учетом направления переноса энергии . Вектор называют вектором Пойнтинга, он определяет не только величину и направление потока электромагнитной энергии. Направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением вектора скорости волны (проверьте это, используя правило определения направления векторного произведения).

Наиболее распространенными системами, излучающими ЭМВ, являются колеблющийся заряд или колеблющийся диполь.

Смещение заряда, совершающего гармонические колебания, с течением времени меняется по закону . Ускорение колеблющегося заряда – вторая производная от смещения:

.

Видим, что ускорение прямо пропорционально частоте колебаний заряда . Электрическая составляющая волны в точке, расположенной на расстоянии r от заряда:

.

Понятно, что совершающий гармонические колебания заряд, излучает монохроматичную волну, частота которой совпадает с частотой колебания заряда. Амплитуда электрической составляющей этой волны равна

.

Интенсивность волны I – это средняя за период плотность потока энергии. Поскольку среднее за период значение квадрата косинуса равно , то для интенсивности электромагнитной волны можно записать:

Как и для упругой волны, интенсивность электромагнитной волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды волны. Поскольку амплитуда ЭМВ прямо пропорциональна квадрату частоты, то интенсивность ЭМВ будет прямо пропорциональна четвертой степени частоты.

§ 4 Импульс электромагнитной волны

Попадая на поверхность тела, электромагнитная волна производит давление. Объясним механизм этого явления.

Для простоты рассмотрим нормальное падение волна на поверхность тела. Под действием электрической составляющей волны свободные заряды в проводнике придут в движение, возникнут токи. В диэлектрике будут смещаться заряды, входящие в состав молекул. На движущиеся заряды со стороны магнитной составляющей волны будет действовать сила Лоренца. Из рисунка нетрудно видеть, что эта сила Лоренца направлена вглубь тела. Результирующая сил Лоренца создает давление на поверхность тела.

Согласно второму закону Ньютона сила, в нашем случае сила давления, равна изменению импульса тела в единицу времени . Под действием электромагнитной волны тело приобретает импульс! Откуда у тела появляется импульс? Объяснение может быть одно – электромагнитная волна переносит не только энергию, но и импульс. При взаимодействии с поверхностью тела ЭМВ передает ему свой импульс.

Плотность импульса электромагнитной волны – это импульс единицы объема:

.

Рассчитать плотность импульса несложно, используя эйнштейновскую формулу связи массы и энергии . Численно значение плотности импульса равно

.

Это выражение можно трактовать следующим образом – «масса единицы объема» умножается на скорость ее «перемещения» с.

Рассчитаем давление ЭМВ на абсолютно черную поверхность – такая поверхность поглощает волну, отраженной волны нет. За время dt волна передает поверхности импульс

где - средняя плотность импульса в объеме , из которого волна дойдет до поверхности; S – площадь поверхности; - расстояние, пройденное волной за время dt.

Силу давления находим по второму закону Ньютона

.

Давление электромагнитной волна на абсолютно черную поверхность равно средней плотности энергии:

.

Очевидно, давление электромагнитной волны на идеальную зеркальную поверхность будет вдвое больше, чем на черную.

Давление ЭМВ было теоретически предсказано Максвеллом. Световое давление было экспериментально обнаружено и измерено П.Н. Лебедевым только в 1900 году, почти через 50 лет после предсказания Максвелла.

§5 Опыты Герца

В 1888 году Герц экспериментально обнаружил электромагнитные волны и исследовал их свойства.

По существу Герцу необходимо было решить две экспериментальные проблемы.

1 Как получить электромагнитную волну?

2 Как обнаружить электромагнитную волну?

Чтобы получить ЭМВ, необходимо в какой-либо области пространства создать изменяющееся электрическое или магнитное поле. Меняющиеся поля существуют в колебательном контуре. Проблема заключается в том, что эти поля локализованы в очень малой, ограниченной области пространства: электрическое поле между обкладками конденсатора, магнитное – внутри катушки.

Можно увеличить область, занимаемую полями, раздвигая обкладки конденсатора и уменьшая число витков катушки.

В пределе контур, состоящий из конденсатора и катушки, преобразуется в отрезок провода, который называется открытым колебательным контуром или вибратором Герца. Магнитные линии охватывают вибратор, силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на самом вибраторе.

При увеличении расстояния между обкладками конденсатора его электроемкость C уменьшается. Уменьшение числа витков катушки приводит к уменьшению ее индуктивности L. Изменение параметров контура в соответствии с формулой Томсона приводит к уменьшению периода и увеличению частоты колебаний в контуре. Период колебаний в контуре уменьшается настолько, что становится сопоставимым со временем распространения электромагнитного поля вдоль провода. Это означает, что процесс протекания тока в открытом колебательном контуре перестает быть квазистационарным: сила тока в разных участках вибратора уже не будет одинаковой.

Процессы, происходящие в открытом колебательном контуре эквивалентны колебаниям закрепленной струны, в которой, как известно, устанавливается стоячая волна. Аналогичные стоячие волны устанавливаются для заряда и тока в открытом колебательном контуре.

Понятно, что на торцах вибратора ток всегда равен нулю. Вдоль контура ток изменяется, его амплитуда максимальна посередине (там, где раньше была катушка).

Когда ток в контуре максимален, плотность заряда вдоль вибратора равна нулю. На рисунке показано распределение тока и заряда вдоль вибратора. Электрическое поле вокруг вибратора в этот момент отсутствует, магнитное поле максимально.

Через четверть периода ток становится равным нулю, магнитное поле вокруг вибратора тоже «исчезает». Максимальная плотность заряда наблюдается вблизи концов вибратора, распределение заряда показано на рисунке. Электрическое поле вблизи вибратора в этот момент максимально.

Изменяющееся магнитное поле вокруг вибратора порождает вихревое электрическое поле, а изменяющееся магнитное поле порождает магнитное поле. Вибратор становится источником электромагнитной волны. Волна бежит в направлении, перпендикулярном вибратору, колебания вектора напряженности электрического поля в волне происходят параллельно вибратору. Вектор индукции магнитного поля колеблется в плоскости, перпендикулярной вибратору.

Вибратор, который Герц использовал в опытах, представлял собой прямой проводник, разрезанный пополам. Половинки вибратора разделял небольшой воздушный зазор. Через дроссельные катушки половинки вибратора подключались к источнику высокого напряжения. Дроссельные катушки обеспечивали медленный процесс зарядки половинок вибратора. По мере накопления заряда росло электрическое поле в зазоре. Как только величина этого поля достигала пробойного значения, между половинками вибратора проскакивала искра. Пока искра замыкала воздушный зазор, в вибраторе происходили высокочастотные колебания, он излучал электромагнитную волну.

Длина волны, излучаемая вибратором, зависит от его размеров. Воспользуемся тем фактом, что в вибраторе устанавливается стоячая волна тока. Узлы этой стоячей волны располагаются на концах вибратора (здесь ток отсутствует), пучность стоячей волны посередине – здесь ток максимален. Расстояние между узлами стоячей волны равно половине длины волны, следовательно,

где L – длина вибратора.

Для обнаружения электромагнитной волны можно воспользоваться тем фактом, что электрическое поле действует на заряды. Под действием электрической составляющей ЭМВ свободные заряды в проводнике должны прийти в направленное движение, т.е. должен появиться ток.

В своих опытах Герц использовал приемный вибратор такого же размера, как и передающий. Тем самым обеспечивалось равенство собственных частот колебаний вибраторов, необходимое для получения резонанса в приемном вибраторе. Для успешного приема волны приемный вибратор следовало расположить параллельно вектору напряженности электрического поля , чтобы под действием электрической силы электроны в проводнике могли прийти в направленное движение. Высокочастотный ток в принимающем проводнике обнаруживался по свечению маленькой газоразрядной трубки, включенной между половинками приемного вибратора.

Можно «поймать» волну приемным контуром, располагая его в одной плоскости в излучающим вибратором. При таком расположении контура вектор магнитной индукции будет перпендикулярен контуру, а пронизывающий контур магнитный поток максимален. При изменении магнитного потока в контуре возникнет индукционный ток, индикатором которого опять-таки служит маленькая газоразрядная трубка.

Герц не только обнаружил электромагнитную волну, но и пронаблюдал ее свойства: отражение, преломление, интерференцию, дифракцию.

§ 6 Задания для самостоятельного решения

Тест «Электромагнитные волны»

1 Что такое электромагнитная волна?

А) процесс распространения электрических колебаний в упругой среде;

Б) процесс распространения меняющегося электрического поля;

В) процесс распространения меняющихся электрического и магнитного полей в пространстве;

Г) процесс распространения электрических колебаний в вакууме.

2 Что колеблется в электромагнитной волне?

А) Электроны; Б) Любые заряженные частицы;

В) электрическое поле; Г) электрическое и магнитное поля.

3 К какому виду волн относится электромагнитная волна?

А) К поперечным; Б) К продольным;

В) ЭМВ может быть как поперечной, так и продольной – в зависимости от среды, в которой она распространяется;

Г) ЭМВ может быть как поперечной, так и продольной – в зависимости от способа ее излучения.

4 Как располагаются относительно друг друга вектора напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в волне?

5 Где правильно показано взаимное расположение векторов скорости , напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в волне?

6 Что можно сказать о фазах колебаний векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в волне?

А) Вектора и колеблются в одной фазе;

Б) Вектора и колеблются в противофазе;

В) колебания вектора отстают по фазе от колебаний вектора на ;

Г) колебания вектора отстают по фазе от колебаний вектора на .

7 Укажите связь между мгновенными значениями векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в волне.

А) ; Б) ;

В) ; Г) .

8 Укажите выражение для расчета скорости электромагнитной волны в вакууме.

А) ; Б) ; В) ; Г) .

9 Отношение скорости распространения электромагнитных волн в среде к скорости электромагнитных волн в вакууме…

А) > 1; Б) < 1; В) = 1; Г) В одних средах > 1, в других средах < 1.

10 Среди радиоволн длинного, короткого и ультракороткого диапазона наибольшую скорость распространения в вакууме имеют волны…

А) Длинного диапазона; Б) Короткого диапазона;

В) Ультракороткого диапазона;

Г) скорости распространения волн всех диапазонов одинаковы.

11 Электромагнитная волна переносит…

А) Вещество; Б) Энергию;

В) Импульс; Г) Энергию и импульс.

12 В каком случае происходит излучение электромагнитной волны?

А) Электрон двигается равномерно и прямолинейно;

Б) По спирали лампы накаливания течет переменный ток;

В) По спирали лампы карманного фонарика течет постоянный ток;

Г) заряженная сфера плавает в масле.

13 Колеблющийся заряд излучает электромагнитную волну. Как изменится амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля , если при неизменной частоте амплитуда колебаний заряда увеличится в 2 раза?

А) Увеличится в 2 раза; Б) Увеличится в 4 раза;

Г) Уменьшится в 2 раза; Д) Не изменится.

14 Колеблющийся заряд излучает электромагнитную волну. Как изменится амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля , если при неизменной амплитуде частота колебаний заряда увеличится в 2 раза?

А) Не изменится; Б) Увеличится в 2 раза;

В) Увеличится в 4 раза; Г) увеличится в 8 раз.

15 Колеблющийся заряд излучает электромагнитную волну. Как изменится интенсивность излучаемой волны, если при неизменной амплитуде частота колебаний заряда увеличится в 2 раза?

А) Не изменится; Б) Увеличится в 2 раза;

В) Увеличится в 4 раза; Г) Увеличится в 8 раз.

16 В каком направлении интенсивность излучаемой вибратором Герца электромагнитной волны максимальна?

А) Интенсивность волны одинакова по всем направлениям;

Б) Вдоль оси вибратора;

В) В направлениях вдоль серединных перпендикуляров к вибратору;

Г) Ответ зависит от геометрических размеров вибратора.

17 Длина волны, на которой суда передают сигнал бедствия SOS, равна 600 м. На какой частоте передаются такие сигналы?

А) 1, 8∙10¹¹ Гц; Б) 2∙10^-6 Гц ; В) 5∙10⁵ Гц; Г) 2∙10⁵ Гц.

18 Если зеркальную поверхность, на которую падает электромагнитная волна, заменить на абсолютно черную, то давление, производимое волной на поверхность, …

А) Увеличится в 2 раза; Б) Уменьшится в 2 раза;

В) Уменьшится в 4 раза; Г) Не изменится.

19 При работе радиолокатора – прибора, служащего для определения расстояния до объекта, - используется явление…

А) Отражения электромагнитных волн;

Б) Преломления электромагнитных волн;

В) Интерференции электромагнитных волн;

Г) Дифракции электромагнитных волн.

20 При работе пеленгатора – прибора, служащего для определения направления на источник электромагнитной волны, - используется…

А) Интерференции электромагнитных волн;

Б) Отражение электромагнитных волн;

В) Преломление электромагнитных волн;

Г) Тот факт, что вектора скорости , напряженности электрического поля и индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны.