Задания на контрольную работу.

МАТЕМАТИКА

Часть вторая

Учебно-методическое указание по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников первого курса

высшего профессионального образования

21.03.01(131000). 13.03.02(140400),

Краснодар

УДК

Составители: доцент Терещенко И.В., доцент Братчиков А.В., ассистент Егорова Л.В.

Математика. Учебно – методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников специальностей140211,140101,130503 факультета НГиЭ высшего профессионального образования. – Краснодар 2005. – 37 с.

В учебно-методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.

Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Вартумян Г.Т.

канд. техн. наук, доцент Данович Л.М.

© КубГТУ, 2005

Содержание

Введение. 3

1. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями. 3

2. Программа дисциплины. 4

3. Контрольные работы. 5

4. Задания на контрольную работу. 13

5 Содержание и оформление контрольных работ. 19

6 Темы практических занятий. 19

7. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету) 20

8. Список рекомендуемой литературы.. 21

Введение

Инженер должен в области математики иметь представление:

- о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и

представлений;

- о математическом моделировании;

- об информации, методах ее хранения, разработки и передачи;

знать и уметь использовать:

- основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики;

- математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

- вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели;

иметь опыт:

- употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;

- исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов:

- использования основных приемов обработки экспериментальных данных;

- аналитического и численного решения алгебраических уравнений;

- исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

- аналитического и численного решения основных уравнений математической физики;

- программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения;

Цель курса «Математика»:

- дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин;

- привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления;

- овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности;

- выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач.

Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример.

Литература: [2, гл.2 c. 3-9], [4, c. 143-162],

где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 210,220,230 и так далее.

В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.

Программа дисциплины.

Тема 6. Функции нескольких переменных.

Функции многих переменных, их область определения. Частные производные. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная по направлению. Градиент. Метод наименьших квадратов.

Литература: [3, гл12 c. 284 – 304]

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление частных производных функции многих переменных.

2. Вычисление производной по направлению.

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

4. Решение задач с помощью метода наименьших квадратов.

Тема 7.Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл. Приближенное значение определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

Литература: [3, гл7,8 с. 159-215].

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление неопределенных интегралов..

2. Вычисление приближенного значения интеграла с помощью формулы Симпсона.

3. Вычисление несобственных интегралов первого и второго рода.

4. Определенный интеграл и его приложения.

Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системыдифференциальных уравнений.

Литература:[3, гл15 с. 416-449].

Вопросы для самоконтроля.

1. Решение уравнений с разделяющимися переменными..

2. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка..

3. Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции.

4. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной.

5. Решения систем дифференциальных уравнений.

Контрольные работы.

Программой дисциплины «Математика» для студентов I курса предусмотрено выполнение контрольных работ №3.

3.1.При выполнении контрольной работы №3 необходимо изучить функции многих переменных, интегральные исчисления и теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Ниже приведены примеры выполнения расчетов.

К заданиям 201-210.

Пример. Проверить, что для функции .

Решение. Находим частные производные второго порядка.

Получим тождество:

=

К заданиям 211-220. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге

Решение: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:

1. Найти критические точки (лежащие внутри данной области) и вычислить в них значения функции.
2. Найти наибольшее (наименьшее) значения функции на границе области.
3. Сравнить все полученные значения функции.

Данная функция имеет частные производные:

- критическая точка

Границей данной области является окружность или , где . Функция на границе области становится функцией одной переменной :

, аргумент которой изменяется на отрезке

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке

Вычисляем ее значения на концах отрезка , т.е. в точках

Сравнивая значение, заключаем, что функция имеет наибольшее значение, равное 18 и наименьшее значение, равное -18, причем

К заданиям 221-230.

Пример.Даны функция , точка и вектор , найти:

а) в точке А;

б) производную в точке А по направлению вектора .

Решение:

а) Имеем

Значит,

б)Найдем направляющие косинусы вектора ,

Следовательно,

К заданиям 231-240.

Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число точек n=6

Требуется методом наименьших квадратов найти функцию так, чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек. Неизвестные коэффициенты находим из системы:

где

В нашем случае система имеет вид

Решим ее методом определителей:

Искомое уравнение

К заданиям 241-250.

Пример. Найти неопределенные интегралы.

а)

Подстановка . Тогда , откуда .

Таким образом,

б)

Применяем формулу интегрирования по частям

Пусть , тогда

Получаем

К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям.

Пусть

Таким образом,

в)

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой

Подынтегральную функцию разложим на дроби

, откуда

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:

Таким образом,

Решим отдельно интеграл

Итак,

г)

Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому делаем подстановку

, , то есть

К заданиям 251-260.Пример. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей. Все вычисление производить с округлением до третьего десятичного знака.

Решение: Делим интервал [1;9] на 8 равных частей, находим длину одной части

h= ,

точки деления значения подынтегральной функции

В этих точках:

ё

По формуле Симпсона

.

К заданиям 261-270

Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение: Подынтегральная функция терпит разрыв при х=3

Согласно формуле

Имеем

Интеграл сходится и его величина составляет .

К заданиям 271 ‑ 280.

Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками А(2;1) и B(5;-8).

Решение:

Длина дуги АВ определяется формулой

Разрешаем данное уравнение относительно y и находим :

Подставляя в формулу, находим

‌‌‌‌‌‌

К заданиям 281 ‑300.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 

Преобразуем уравнение к виду

Сделав подстановку ,т.е. y = u x,

Получим или

Интегрируя, имеем:

, т.е.

Отсюда , т.е.

Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения

2.

Уравнение приводится к виду ,где

- непрерывные функции.

Это уравнение Бернулли

Полагаем . Получаем

или

Решаем первое уравнение ,

Разделяя переменные , т.е.

Выбирая простейшие решения (С=0), находим

Решаем второе уравнение

, где или

, т.е. , откуда

Таким образом, , где - общее решение дифференциального уравнения.

3.

Положим y`=p=p(y). Тогда , а исходное уравнение примет вид:

Т.е. , откуда

Заменим p на y`, получим

, или

Получим общее решение исходного уравнения в неявном виде.

К заданиям 301-310.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

А) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение , составим

характеристическое уравнение:

Тогда - общее решение однородного уравнения.

Б) Найдем у - частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде, подобном первой части. Там - это многочлен второй степени, в общем виде это

, т.е. . Так как есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем

и подставим в первоначальное уравнение

Два многочлена равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты в обеих частях

Тогда

Общее решение

К заданиям 311-320.

Дана система линейных уравнений:

Найти общее решение систем с помощью характеристического уравнения

Решение: Составим характеристическое уравнение , где

- матрица системы,

- единичная матрица.

Имеем , или

Его корни - характеристические числа матрицы.

При уравнения для определения собственного вектора имеют вид и

и сводятся к одному уравнению . Последнее определяет вектор (1;-2).

При получаем уравнения или

Это уравнение определяет вектор (1;1). Поучаем фундаментальную систему решений:

Для :

Для :

Общее решение системы имеет вид:

К заданиям 321-330.

У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?

Решение: Уравнение касательной в любой точке (x ; y) искомой кривой будет , где - координаты любой точки на касательной.

Полагая в этом уравнении , найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох:

Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как уравнение с разделяющимися переменными, получим

Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ох.

Задания на контрольную работу.

Контрольная работа №3

Задание 1. Дана функция z=f(x;y). Показать, что F(x; y; z; ) .

№201. ,

№202.

№203. ,

№204. ,

№205. ,

№206. ,

№207. ,

№208. ,

№209. ,

№210. ,

Задание 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

№211. ;

№212. ;

№213. ,

№214.

№215. ; ,

№216. ,

№217. ,

№218. ; ,

№219. ; ,

№220. ; ,

Задание 3. Даны функция , точка и вектор .

Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

№221. , A(1;1);

№222. , A(-1;2);

№223. , A(1;3);

№224. A(1;1);

№225. A(2;-1);

№226. A(1;2);

№227. A(4;-3);

№228. A(-1;-2);

№229. , A(-5;6);

№230. A(2;3);

Задание 4. Экспериментально получены пять значений функции при пять значениях аргумента, которые записаны в таблице:

x
y	y1	y2	y3	y4	y5

Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенную (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

№231. y|| 3,4 | 3,5 | 3,1 | 1,2 | 2,4 |

№232. y|| 0,6 | 1,6 | 3,7 | 5,2 | 6,4 |

№233. y|| 4,7 | 5,5 | 4,0 | 2,1 | 2,7 |

№234. y|| 4,8 | 5,3 | 4,2 | 3,8 | 2,3 |

№235. y|| 3,9 | 5,1 | 3,3 | 1,5 | 2,3 |

№236. y|| 5,7 | 6,7 | 4,9 | 3,4 | 3,9 |

№237. y|| 5,2 | 6,3 | 4,8 | 2,7 | 1,8 |

№238. y|| 5,1 | 4,8 | 5,2 | 2,9 | 2,1 |

№239. y|| 4,5 | 2,5 | 0,5 | 3,5 | 1,6 |

№240. y|| 3,6 | 4,5 | 3,2 | 1,3 | 1,8 |

Задание 5. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

№241. а) ; б) ; в) ; г) .

№242. а) ; б) ; в) ; г) .

№243. а) ; б) ; в) ; г) .

№244. а) ; б) ; в) г)

№245. а) б) ; в) ; г) .

№246. а) ; б) ; в) ; г) .

№247. а) ; б) ; в) ; г) .

№248. а) ; б) ; в) ; г) ;

№249. а) ; б) ; в) ; г) ;

№250. а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 6. Вычислить приближенные значения определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

№251. №255. №259.

№252. №256. №260.

№253. №257.

№254. №258.

Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

№261. №266.

№262. №267.

№263. №268.

№264. №269.

№265. №270.

Задание 8.

№271. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Oy.

№272. Вычислить длину дуги кривой от точки до точки .

№273. Вычислить площадь фигуры, ограниченно линиями, заданными уравнениями , .

№274. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

№275. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ox.

№276. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

№277. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой ,

№278. Вычислить длину дуги кривой от точки А(1;0) до точки B(2;1).

№279. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси Oy.

№280. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Oy.

Задание № 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

№ 281.

№ 282. (1+x ) -2xy=(1+x )

№ 283. =

№ 284. x =y ln ( )

№ 285. x +x tg

№ 286. +y cos = sin 2x

№ 287. +2xy=2xy

№ 288.

№ 289. x + y =4x

№ 290. - y=

Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

№291. (1- x x

№ 292. (1+ ( )

№ 293. 1+( )

№ 294. x

№ 295.

№296.

№297.

№298.

№299.

№300.

Задание 11. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условиям , .

№301. ,

№302. ,

№303. ,

№304. y(0) =0,

№305. , y(0)=1,

№306. y(0) =0,

№307. y(0) = 1,

№308.

№309.

№310.

Задание 12. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения;

2) записать данную систему и её решение в матричной форме.

№311.

№312.

№313.

№314.

№315.

№316.

№317.

№318.

№319.

№320.

Задание 13.

№321. Пуля, двигаясь со скоростью м/с, ударяется о достаточно плотную стену и начинает углубляться в нее, испытывая силу сопротивления стены; эта сила сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности . Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену.

№322. Материальная точка массой г движется прямолинейно. На нее действует сила в направлении движения, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности , и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности . Найти скорость точки через 3 секунды после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.

№323. В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью , а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?

№324. Кривая проходит через точку A(2;1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.

№325. Материальная точка массой г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности кг/с. Найти скорость точки через 1с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

№326. Моторная лодка двигалась в спокойной воде со скоростью кг/ч . На полном ходу её мотор был выключен и через 10 секунд скорость лодки уменьшилась до км/ч. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 минуту после остановки мотора.

№327. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой точки, проведённой в этой же точке, с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.

№328. Кривая проходит через точку A(1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.

№329. Кривая проходит через точку А(2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.

№330. Кривая проходит через точку А(1;5) и обладает свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

Содержание и оформление контрольных работ