Геометрические характеристики плоских сечений 3 страница
При защемлении (заделке) запрещается всякое перемещение соответствующего торца балки в плоскости действия внешних сил. Заделка может быть получена из шарнирно-неподвижной опоры путем уничтожения шарнира. Значит, помимо неизвестных реакций и в заделке мы должны ввести ещё одну реакцию, препятствующую повороту. Такой реакцией может быть только пара сил (момент относительно точки А). Балки могут опираться на ряд опор рассмотренных типов.
При определении реакций, в первую очередь, используются уравнения статики (равновесия). Уравнения равновесия выражают ту мысль, что балка в целом при действии всех сил и реакций, должна находиться в равновесии. Так как все силы лежат в одной плоскости, то уравнений равновесия для них может быть записано только три. Поэтому, чтобы вычислить реакции из условий равновесия балка должна опираться на опоры, дающие в сумме три неизвестные реакции. Такие балки называются статически определимыми балками. Все остальные относятся к статически неопределимым балкам.
Примеры статически определимых балок
После выбора расчетной схемы и определения опорных реакций завершается первая часть решения задачи – определение внешних сил действующих на балку. Далее переходим к отысканию внутренних силовых факторов.
Внутренние силовые факторы при изгибе
Рассмотрим сечение 1-1. Выясним силовые факторы, действующие в этом сечении. Чтобы удержать в равновесии рассматриваемую часть, действие отброшенной части заменим силой , действующей в плоскости сечения. Величину этой силы можно определить из условия равновесия рассматриваемой части.
.
Отсюда .
Вдоль оси рассматриваемой части никакие внешние силы не действуют, отсюда внутренняя продольная сила равна нулю. Выполнив указанное условие, мы обеспечим равновесие вдоль и .
Введенная сила не может воспрепятствовать повороту рассматриваемой части. Этот поворот может исключить пара сил. Величина момента в сечении 1-1 определяется из условия равновесия рассматриваемой части (записывается сумма моментов относительно оси Y, проходящей через точку ).
Таким образом, при изгибе балки в поперечном сечении возникает поперечная сила и изгибающий момент .
Поперечная сила Q сдвинет рассматриваемое сечение относительно смежного. Она вычисляется как алгебраическая сумма проекций на ось Z сил, действующих на одну сторону от сечения.
Изгибающий момент поворачивает это сечение относительно смежного. Он равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения относительно оси Y, проходящей через т. .
Правило знаков для Q и M
При определении поперечной силы и изгибающего момента правило знаков можно формулировать следующим образом. Поперечная сила Q положительна, если внешние силы, действующие на рассматриваемую часть, стараются повернуть её против хода часовой стрелки. Момент является положительным, если внешние силы действуют на рассматриваемую часть так, что волокна с положительной координатой Z растягиваются.
Определим Q и M в сечении . Рассмотрим уравнения равновесия левой части:
Если рассматривать правую часть то:
Дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной
нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом
Для равновесия отсеченной части балки в рассматриваемом сечении следует приложить внутренние силы Q и M, заменяющие действие отброшенной части. Если из балки вырезать элемент бесконечно малой длины , то этот элемент должен находиться в равновесии. На элемент действует часть нагрузки , которую на такой малой длине можно считать постоянной и равной в сечении .
Кроме того, на элемент действуют силы и моменты , заменяющие действие отброшенных частей. Вследствие малости расстояния , можно положить, что
и
Выпишем условия равновесия выделенного элемента:
( 1 )
( 2 )
Или:
отсюда или
( 3 )
производная от поперечной силы по абсциссе (координате) сечения равна интенсивности сплошной нагрузки в том же сечении с обратным знаком. Из уравнения моментов, пренебрегая величиной второго порядка малости по сравнению с другими слагаемыми, имеем
или ( 4 )
Производная от момента по абсциссе сечения равна поперечной силе в том же сечении.
Если взять производную от обеих частей (4) получим:
, учитывая (3) получим:
( 5 )
Полученные зависимости (3), (4), (5) могут быть использованы при построении эпюр Q и M. Здесь большую роль играет тот факт, что производная функции геометрически представляет собой тангенс угла наклона касательной к линии графика и оси абсцисс в данной точке.
Так поперечная сила Q может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре M, в точке соответствующей этому сечению. Из (3) следует, что поперечная сила принимает экстремальные значения в сечениях, где , т.е. (касательная к эпюре параллельна оси ). Из (4) следует, что в сечениях, где изгибающий момент достигает экстремального значения.
Пример 1.
Определение реакций:
Разбиваем на участки:
Вычислим экстремальное значение момента на I участке. Для этого используется зависимость: Определим сечение, где момент принимает экстремальное значение, т.е.
Поскольку зависимость момента квадратичная нужно определить форму кривой графика функции момента по дифференциальному соотношению .
Вторая производная есть кривизна кривой, если кривизна положительная, то вогнутость вниз.
В нашем случае величина , поскольку направление q не совпадает с направлением Z, тогда на I участке .
II участок:
Функции простые, определяем их значения на концах участка:
ЛЕКЦИЯ 4
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ
СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ
Пример 2 (балки)
Дано: q=2 T/м, F=3T, М=5 Т м
В данном случае реакции опор можно не определять, т.к. с одного торца все силы известны. Разбиваем на участки.
I участок:
;
II участок:
;
III участок:
;
Момент в пределах третьего участка изменяется по квадратичному закону. Чтобы определить экстремальное значение момента на участке, необходимо воспользоваться дифференциальной зависимостью:
Итак, при момент имеет экстремальное значение.
По полученным данным строим эпюры Q и M. Далее проводится анализ правильности построения эпюр, используя дифференциальные зависимости:
Пример 3 (плоские рамы)
Наряду с прямыми стержнями и прямыми балками на практике имеют применение брусья с ломаной осью. Особенность их заключается в том, что они работают одновременно и как стержни и как балки. То есть в поперечных сечениях возникают продольные силы, поперечные силы и изгибающие моменты. Пока мы остановимся на брусьях, ломаная ось которых лежит в одной плоскости.
Дано:
Определим реакции опор. Рама опирается на две опоры (неизвестных -3). Рама является статически определимой.
Разбиваем на участки по известному принципу. Далее на каждом из участков берется поперечное сечение и с помощью метода сечения определяются силовые факторы. Кроме того, на каждом из участков нужно ввести систему координат так, чтобы ось была направлена вдоль оси соответствующего участка, а ось перпендикулярно.
I участок:
;
II участок:
;
Ш участок:
;
IY участок:
;
Пример 4
Дано:
Реакции опор определять нет необходимости. Разбиваем на участки.
I участок:
;
II участок:
;
III участок:
;
IY участок:
;
Пример 5. Построение эпюр для бруса с кривой осью. В отличие от плоских рам в кривых брусьях кривизна изменяется непрерывно. Поперечные сечения меняют ориентацию при перемещении вдоль оси. Поэтому меняются от сечения к сечению не только значения внутренних сил и , но их направления. Если рассматриваются брусья с продольной осью в виде части окружности, то положение поперечных сечений проще задавать угловой координатой. В остальном также работает метод сечений.
Дано:
Решение начнем с определения реакций опор.
Разбиваем на участки:
I участок: ;
Нужно составить уравнения равновесия рассматриваемой части (левой) в системе координат связанной с данным сечением, так как легче определять проекции сил.
Далее выражаем функции:
II участок: ;
Графики тригонометрических функций строятся по ряду точек. Удобно воспользоваться таблицей, и затем значения перенести на эпюры.
Iучасток II участок
| N | 1,73 | -0,36 | -1 | -1 | -1,86 | -2,23 | -2 | |
| Q | 1,86 | 2,59 | 1,23 | 0,14 | -1 | |||
| M | 0,78 | 1,86 | -1 | -0,14 | 0,22 |
ЛЕКЦИЯ №5
ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Если представить твердое тело (потенциально деформируемое) в ненагруженном состоянии, то расположение его микрочастиц (молекул) будет соответствовать так называемому тепловому равновесию. Т.е. между этими частицами не действуют силы, как бы сохраняющие конфигурацию этого твердого тела (микрочастицы настолько связаны между собой, что они не могут отделяться друг от друга, как это происходит, например, с газообразной средой). В реальной обстановке все твердые тела испытывают действие со стороны соседних тел или сред. Это значит, они нагружены силами извне - внешними силами. Внешние силы, будучи приложены, вызывают взаимное смещение микрочастиц.
Природа межмолекулярных связей заключается в том, что сила взаимодействия между парой атомов или молекул зависит от расстояния между ними. Т.е. можно сказать, что сила взаимодействия между частицами зависит от изменения расстояний между ними. Таким образом, выстраивается цепь – внешние силы вызывают взаимное смещение частиц (для тела это означает деформация) как реакция на изменение расстояний появляются дополнительные силы взаимодействия между частицами (внутренние силы). Деформация нарастает до тех пор, пока внутренние силы не уравновесят внешнее воздействие на ту или иную пару микрочастиц. Вот приблизительная схема взаимосвязи внешних сил, деформации и внутренних сил.
Представим твердое тело, нагруженное уравновешенной системой внешних сил (тело находится в равновесии). Между множеством микрочастиц этого тела возникают силы взаимодействия, которые в конечном итоге уравновешивают внешнее воздействие. Теперь определим внутренние силы, как силы взаимодействия между двумя частями тела, разделенными некой воображаемой плоскостью. На пересечении тела с этой плоскостью получается определенное сечение . В каждой точке этой плоскости появятся силы взаимодействия, как только на все тело начнут действовать внешние силы.
Теперь можно говорить о внутренних силах, которые возникают в том или ином сечении нагруженного тела. Об этих силах можно сказать следующее:
1) они распределяются непрерывно по этому сечению;
2) в каждой точке сечения величина и направление будут свои;
3) в различных сечениях будут действовать различные силы взаимодействия (внутренние силы).
Необходимо найти способ математического описания внутренних усилий действующих в том или ином сечении тела. Т.к. сечение мы представляем в виде плоскости, то эти сечения будут иметь определенный размер (площадь ) и ориентацию, которая определяется нормалью .
Итак, некоторое сечение имеет площадь и нормаль . В этом сечении действует распределенная сила (внутренняя сила). Эта распределенная нагрузка может быть приведена к главному вектору . Возьмем в сечении произвольную точку , и выделим вокруг нее (в окрестности) элемент (квадрат, прямоугольник) достаточно малой площади . В пределах этого элемента действует распределенная нагрузка, обладающая главным вектором .
Величина
называется средним напряжением на площадке с нормалью и в окрестности точки .
Величина
представляет вектор напряжения в точке на площадке с нормалью . Иначе эта величина называется вектором полного напряжения.
Вектор полного напряжения характеризуется величиной, направлением, точкой приложения и ориентационной площадки. Следовательно, вектор полного напряжения характеризует интенсивность механического воздействия передаваемого в данной точке через данную площадку от одной части к другой.
Если зафиксировать точку в нагруженном теле и провести через нее различные площадки (отличающиеся нормалями), то на различных площадках будет свой вектор полного напряжения. Таким образом, в точке нагруженного тела действует множество напряжений на множестве площадок, проходящих через эту точку.
НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В любой точке сечения вектор полного напряжения можно разложить на нормальную и касательную составляющие.
- нормальная составляющая;
- касательная составляющая.
Таким образом: - нормальное напряжение; - касательное напряжение
Если в сечении ввести два взаимно перпендикулярных направления, то вектор касательного напряжения можно разложить на составляющие