Элементы логической символики

→	"следует", "выполняется"
↔	равносильность утверждения
:	"такой, что"

Запись ∀x: |x|<2 → x² < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x² < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности, используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования, используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой)множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

2.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.

Существуют разные способы задания функций.

1. Аналитический способ.

Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например .

Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д.

Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.

Например:

Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно.

Например . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение:

. То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3.

При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,

Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4.

2. Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример:

3. Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

4. Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Пример:

Табличный способ задания функции очень удобен при обработке результатов исследований. Например, при выявлении зависимости между уровнем загрязнения окружающей среды и количеству людей, заболевших раком.

3.

Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.

Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа

Пример 1

Вычислить предел . Решение. Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точкеx = 1. Разложив числитель на множители, получаем

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Пример 2

Вычислить предел . Решение. Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители. (Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители:ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.) Аналогично, Таким образом, предел равен Пример 3   Вычислить предел . Решение. Подстановка показывает, что функция имеет неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на x3 (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем Пример 4   Вычислить предел . Решение. Перепишем знаменатель в виде и разложим его как разность кубов: В результате можно найти предел: Пример 5 Вычислить предел . Решение. Сделаем замену переменной: . Тогда . Получаем Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения . В результате находим значение предела       Пример 6   Вычислить предел . Решение. Если , то Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение. Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ: Пример 7   Найти предел . Решение. Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения. Пример 8   Найти предел . Решение. Разделим числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени). Получаем           Пример 9   Найти предел . Решение. Используя формулы преобразуем предел и найдем его значение: Пример 10   Найти предел . Решение. Пусть . Тогда при . Следовательно, Пример 11   Найти предел . Решение. Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение . Получаем Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при . Следовательно, разделим числитель и знаменатель на - то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда Пример 12   Найти предел . Решение. Используя тригонометричское тождество , перепишем предел в следующем виде В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при . Поэтому, окончательный ответ равен

4. 5.

Производная параметрически заданной функции.

В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x иy, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде . Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений (x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра tиз промежутка (a; b). К примеру, все пары значений при задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.

Определение параметрически заданной функции.

Таким образом, если определены при и существует обратная функция для , то говорят о параметрическом задании функции .

При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции , также остановимся на производной второго и n-ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть определены и дифференцируемы при , причем и имеет обратную функцию .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию , аргументом которой является x.
По правилу нахождения производной сложной функции имеем: . Так как и обратные функции, то по формуле производной обратной функции , поэтому .

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Дальнейшее изложение предполагает умение пользоваться таблицей производных, правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

Пример.

Найти производную параметрически заданной функции

Решение.

В данном примере , поэтому . Используем выведенную формулу и сразу записываем ответ:

Ответ: .

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что производная функции по аргументу x также задается через параметр t, поэтому в ответе нужно указывать и выражение аргумента x через параметр t (строчка переписывается из условия), иначе потеряется связь между значениями производной параметрически заданной функции и аргументом, которому эти значения соответствуют.

Для нахождения производной второго порядка параметрически заданной функции, можно к найденной производной первого порядка вновь применить формулу:

Пример.

Найти производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически

Решение.

Имеем , поэтому

Следовательно, .

То есть, производная первого порядка имеет вид: .

Еще раз используем формулу, для нахождения производной второго порядка:

То есть, производная второго порядка параметрически заданной функции имеет вид

Можно было поступить немного иначе:

Следовательно,

Аналогично находятся производные высших порядков параметрически заданных функций.

6.

Во многих задачах функция y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;

• Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).

Пример 1

Продифференцировать функцию y(x), заданную уравнением . Решение. Продифференцируем обе части уравнения по переменной x: что приводит к результату

Пример 2

Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1. Решение. Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию): Если y = 1, то из исходного уравнения находим

Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров.
Подставим в уравнение (1) значения x = −1 и y = 1. В результате получаем

Отсюда следует, что y' = 0 при y = 1.

Пример 3

Дано уравнение окружности x ² + y ² = r ² с центром в начале координат и радиусом r.
Найти производную y'(x).

Решение.

Продифференцируем по x обе части уравнения:

В данном случае мы можем получить и явное выражение для производной. Например, для верхней полуокружности, зависимость y(x) имеет явный вид . Отсюда находим, что производная равна

Пример 4

Найти уравнение касательной к кривой x 4 + y 4 = 2 в точке (1;1). Решение. Продифференцируем обе части уравнения кривой по x: Тогда . В точке (1;1) соответственно находим, что y'(1) = −1. Следовательно, уравнение касательной в данной точке имеет вид

7.