Классическое определение вероятности

Вероятностью наступления события A называется число, равное отношению числа случаев, благоприятствующих событию A, к общему числу случаев (исходов, шансов или элементарных событий).

Вероятность (Р)

Где n ‒ общее число случаев, m ‒ число случаев, благоприятствующих событию А.

Вероятность невозможного события:

Вероятность достоверного события:

Вероятность любого случайного события:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью события A называется относительная частота появления события в n ‒ произведенных испытаниях.

Опытная (экспериментальная) вероятность:

Следовательно, – есть доля тех фактически произведённых испытаний, в которых событие A появилось. При , P(A) ≈ (A)

Пример 1.

В коробке лежит 7 синих, 8 красных и 5 зеленых шаров.

Решение:

Событие A ‒ шар зеленый;

Пример 2.

В коробке лежат 100 электроламп, из них 5 бракованных.

Решение:

Событие A ‒ на удачу, выбранные 2 электролампы исправны.

Пример 3.

В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных.

Найти:

Вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение:

Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся шаров, равно:

Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5:

Искомая вероятность P = 15/252 ≈ 0,06.

Геометрическая вероятность, то есть вероятность попадания точки в некоторую область, отрезок, часть плоскости.

Геометрической вероятностью события A называют отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области.

где mes ‒мера (длина, площадь, объём области).

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.

Операции над случайными событиями.

Определение 1.Суммой двух событий A и B называется событие C, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B.

Возможны два случая:

1. Если A и B несовместны, тогда A+B означает, что произойдет или A, или В.

2. Если A и B совместны, тогда A+B означает, что произойдет или A, или B, или A и B одновременно.

Определение 2.Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B.

Пример 1.Из колоды карт наудачу вынули одну карту.

Событие A‒ карта дама.

Событие B‒ карта пиковой масти.

Тогда A + B ‒ вынутая карта или дама, или карта пиковой масти, или пиковая дама.

A B ‒ вынутая карта пиковая дама.

Правило произведения событий.

Если какой ни будь объект A можно выбрать m‒ способами и после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать k ‒ способами, то пары объектов «A и B одновременно» можно выбрать m k‒ способами.

Пример 2.

В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных билетов.

Найти вероятность того, что среди первых 5‒ти наугад выбранных билетов 2 будут выигрышными.

Решение:

50 ‒ 8 = 42 ‒ билета невыигрышных.

Событие A ‒ среди первых 5‒ти билетов 2 выигрышных.

Пример3.

В ящике находится 10 стандартных и 5 нестан­дартных деталей.

Какова вероятность, что среди наугад взя­тых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение:

Общее число исходов равно

Число благо­приятных исходов определяется произведением

где пер­вый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4‒х стандартных деталей из 10, а второй ‒ числу вари­антов изъятия из ящика 2‒х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна