Система фазовой автоподстройки (ФАПЧ)

На рис. 11.3 изображена структурная схема ФАПЧ, которая отличается от представленной на рис. 11.2 схемы для ЧАПЧ тем, что частотный детектор (ЧД) заменён на фазовый детектор (ФД). Коэффициенты передачи всех узлов схем ЧАПЧ и ФАПЧ совпадают, за исключением коэффициента передачи ФД по частоте.

ФД представляет собой устройство умножения двух входных сигналов, отличающихся по фазе. Сигнал на выходе ФД зависит от разности фаз входных сигналов.

Пусть сигнал ГУН и опорный сигнал отличаются по фазе и имеют вид:

U_Г (t) = U₁ cos [ω_ОП t + φ(t)] ;

U_ОП (t) = U₂ cos ω_ОПt .

Перемножим эти сигналы и получим выражение для сигнала на выходе ФД:

U_ФД (t) = U₁U₂ cos [ω_ОП t + φ(t)]·cos ω_ОПt =

= 0,5·U₁U₂ [cos φ(t) + cos [2ω_ОП t + φ(t)]] .

Так как на выходе ФД стоит ФНЧ, то вторая составляющая в сумме будет подавлена, и при дальнейшем изложении напряжение на выходе ФД запишем в виде

U_ФД(t) = А cos φ(t),

где А = 0,5·U₁U₂ . На рис.11.4 изображена зависимость напряжения на выходе ФД от фазы.

Разложим полученное выражение в ряд Тейлора по переменной φ в окрестности точки φ = π/2

,

, (11.5)

где Δ φ(t) = φ(t) – π/2.

В теории ФД вводится понятие крутизны ФД: S_ФД = – 2π·А, используя которое, выражение (10.5) запишем в виде

(11.6)

Формула (11.6)устанавливает связь между отклонением напряжения на выходе ФД и разностью фаз между сигналами. Нас интересует реакция ФАПЧ не на разность фаз, а на разность (отклонение) частот. Связь между фазой сигнала cos φ(t) и частотой выражается соотношением

(11.7)

Пусть частота ГУН отличается от частоты опорного сигнала: f_Г = f_ОП + Δf(t). Подставим это условие в (11.7):

Найдем связь между отклонением фазы и отклонением частоты:

Подставим полученное выражение в (11.6):

Перейдём к изображению по Лапласу:

и найдём коэффициент передачи ФД по отклонению частоты:

. (11.8)

Таким образом, с позиции отклонения частоты ФД является интегратором. Подставим в (11.2) выражения для коэффициентов передачи в системе ЧАПЧ, заменив выражение для К₁(р) формулой (10.8):

. (11.9)

Так как значения крутизны S_ФД в точках φ = π ⁄ 2 и φ = 3π ⁄ 2 противоположны по знаку, то при включении ФАПЧ фазовый детектор устанавливается в ту точку, которая при любых знаках К_УС и S_ГУН обеспечивает положительность свободного члена в знаменателе выражения (11.9). Следовательно, система ФАПЧ в рамках рассмотренной модели всегда устойчива.

По аналогии с формулой (11.4) найдём выражение для остаточной погрешности подстройки частоты ГУН к изменившейся частоте опорного сигнала:

. (11.10)

Из (11.10) следует, что в системе ФАПЧ остаточная погрешность с течением времени стремится к нулю. Система ФАПЧ относится к астатическим системам авторегулирования. Это определяется тем, что в соответствии с (11.8) ФД является интегратором в петле ОС по параметру отклонения частоты.

В соответствии с (11.6) сигнал на выходе ФД пропорционален отклонению фазы колебаний ГУН и опорного источника. Поэтому система ФАПЧ обеспечивает точную подстройку частоты и с точности до остаточной погрешности отклонение фаз.